Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre

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Plan du Cours

  1. Équations du premier ordre linéaires
  2. Variation de la constante
  3. Principe de superposition
  4. Équations autonomes et croissance logistique
  5. Équations du second ordre à coefficients constants
  6. Équation caractéristique et solutions particulières

1. Équations du premier ordre linéaires

Notions clés & Définitions

  • Équation différentielle linéaire du premier ordre : Équation différentielle linéaire du premier ordre : toute équation de la forme y+a(x)y=b(x)y' + a(x)y = b(x) avec aa et bb continues sur un intervalle II.
  • Équation homogène associée : Équation homogène associée : l’équation obtenue en remplaçant le second membre par 0, soit y+a(x)y=0y' + a(x)y = 0.
  • Résoudre une équation différentielle : Résoudre une équation différentielle : trouver toutes les fonctions dérivables et continues sur II qui vérifient l’égalité donnée pour tout x  I.

Points essentiels

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1. Quelle est la forme générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

2. Comment s’écrit toute solution de l’équation homogène associée à y' + a(x)y = 0 ?

3. Quelle idée décrit la méthode de variation de la constante ?

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Flashcards preview

Équation du premier ordre — forme ?

$y' + a(x)y = b(x)$, avec $a,b$ continues.

Solution homogène — forme ?

$y(x)=K e^{-A(x)}$, où $A$ est primitive de $a$.

Méthode homogène + particulaire — but ?

Trouver toutes les solutions de l’équation complète.

Solution particulière — exemple ?

Polynôme de degré un ou constante selon le second membre.

Variation de la constante — principe ?

$y_p(x)=K(x) y_h(x)$, avec $K'(x)$ déterminé.

Principe de superposition — condition ?

Même coefficient $a(x)$ pour les équations additionnées.

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Frequently asked questions

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