Тест: Synthèse des notions clés en mathématiques — 20 въпроса

1. Comment appelle-t-on une suite dont le terme u_n s’écrit directement en fonction de n, sans calculer les termes précédents ?

A. Une suite monotone

B. Une suite indexée à partir d’un rang k

C. Une suite donnée par une formule explicite

D. Une suite définie par récurrence

Answer: (C)

Обяснение

Une formule explicite permet d’obtenir directement u_n en fonction de n. Une suite définie par récurrence exige au contraire un terme précédent pour calculer le suivant.

2. Dans la suite définie par u_n = 3n - 7, quelle écriture est correcte pour désigner le terme de rang n ?

A. u_n = 7 - 3n

B. u_n = 3(n - 7)

C. u_n = u(n)

D. u_n = 3^n - 7

Answer: (C)

Обяснение

Le terme général u_n est la valeur de la fonction de suite en n, donc u_n = u(n). Ici, cela correspond bien à 3n - 7.

3. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

A. Pour tout n, u_{n+1} u_n

B. Pour tout n, u_{n+1} = u_n

C. Pour tout n, u_{n+1} > u_n

D. Pour tout n, u_{n+1} u_n

Answer: (D)

Обяснение

Une suite est croissante lorsque u_{n+1} u_n pour tout n. Si l’inégalité est stricte, on parle alors de suite strictement croissante.

4. Que signifie le fait que la suite ait une limite infinie vers +70 quand n tend vers + ?

A. Ses termes se rapprochent d’une valeur réelle fixe

B. Ses termes restent tous positifs

C. Ses termes deviennent sans borne supérieure

D. Ses termes alternent de signe

Answer: (C)

Обяснение

Une limite infinie vers +70 signifie que les termes augmentent sans borne. Ce n’est pas une convergence vers une valeur réelle finie.

5. Dans l’expression f(x)=ax^2+bx+c avec a neq 0, que représente le coefficient a ?

A. Le terme constant de la fonction

B. Le coefficient directeur de la droite

C. Le paramètre qui détermine l’ouverture de la parabole

D. L’abscisse du sommet

Answer: (C)

Обяснение

Le signe de a détermine l’orientation de la parabole et ses variations. Le terme constant est c, tandis que l’abscisse du sommet vaut bb = -b/(2a).

6. Si a < 0 pour une fonction du second degré f(x)=ax^2+bx+c, quelle affirmation est correcte ?

A. La parabole est tournée vers le haut

B. La fonction est strictement croissante sur tout 9

C. La fonction admet un minimum en x=bb

D. La fonction est décroissante puis croissante

Answer: (D)

Обяснение

Quand a < 0, la fonction est croissante jusqu’à x=bb puis décroissante après ce point. La parabole est alors tournée vers le bas et le sommet correspond à un maximum.

7. Quel est le rôle du discriminant 94=b^2-4ac pour l’équation ax^2+bx+c=0 ?

A. Il fournit directement la pente de la parabole

B. Il donne l’ordonnée du sommet

C. Il indique si le trinôme est toujours positif

D. Il permet de déterminer le nombre de solutions réelles

Answer: (D)

Обяснение

Le discriminant sert à connaître le nombre de solutions réelles de l’équation du second degré. Selon son signe, on obtient deux, une seule ou aucune solution réelle.

8. Si 94 = 0 pour un trinôme ax^2+bx+c, quelle forme factorisée obtient-on ?

A. a(x-x_1)(x-x_2)

B. a(x^2+x_0)

C. a(x-x_0)^2

D. (x-x_0)(x+x_0)

Answer: (C)

Обяснение

Quand 94 = 0, l’équation admet une racine double x_0 et le trinôme se factorise en a(x-x_0)^2. La forme à deux facteurs distincts correspond au cas 94 > 0.

9. Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

A. Quand leurs longueurs sont égales

B. Quand ils ont le même sens

C. Quand leur produit scalaire est nul

D. Quand ils forment un angle aigu

Answer: (C)

Обяснение

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cette propriété traduit le fait que leurs droites supports sont perpendiculaires.

10. Dans un repère orthonormé, quelle condition traduit l’orthogonalité de deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') ?

A. x^2+y^2=0

B. x+x'=0

C. xx'+yy'=0

D. x'y-xy'=0

Answer: (C)

Обяснение

Dans une base orthonormée, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'=0. C’est l’écriture coordonnée du produit scalaire nul.

11. Dans un repère orthonormé, quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leurs normes sont égales

B. Lorsque l’angle entre eux vaut 60°

C. Lorsque l’un est deux fois plus long que l’autre

D. Lorsque leur produit scalaire est nul

Answer: (D)

Обяснение

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. L’égalité des normes ne suffit pas à garantir un angle droit.

12. Quelle formule donne la norme d’un vecteur de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée ?

A. \u221a(x^2 + y^2)

B. x + y

C. x^2 + y^2

D. \u221a(x + y)

Answer: (A)

Обяснение

Dans une base orthonormée, la norme d’un vecteur (x ; y) est égale à \u221a(x^2 + y^2). L’expression x^2 + y^2 correspond au carré de la norme, pas à la norme elle-même.

13. Comment s’exprime le travail d’une force \u2192F sur un déplacement rectiligne \u2192AB ?

A. Par la somme des normes de \u2192F et \u2192AB

B. Par la différence des coordonnées de \u2192F et \u2192AB

C. Par le quotient \u2192F / \u2192AB

D. Par le produit scalaire \u2192F · \u2192AB

Answer: (D)

Обяснение

Le travail d’une force sur un déplacement rectiligne est le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement. C’est pourquoi il dépend aussi de l’angle entre les deux vecteurs.

14. Que peut-on dire du travail d’une force lorsque cette force est perpendiculaire au déplacement ?

A. Il est nul

B. Il vaut la norme de la force multipliée par la distance

C. Il est toujours négatif

D. Il est toujours positif

Answer: (A)

Обяснение

Si la force est perpendiculaire au déplacement, le cosinus de l’angle vaut 0, donc le travail est nul. Il n’est ni positif ni négatif dans ce cas.

15. Quel est le taux de variation de f entre a et b, avec a \u2260 b ?

A. f(b) - f(a)

B. (f(b) - f(a)) / (b - a)

C. (b - a) / (f(b) - f(a))

D. (f(a) - f(b)) / (a + b)

Answer: (B)

Обяснение

Le taux de variation entre a et b est défini par (f(b) - f(a)) / (b - a). Il correspond à la pente de la sécante reliant les points de la courbe.

16. Quelle propriété caractérise une fonction affine f(x)=mx+p sur n’importe quels deux réels distincts a et b ?

A. Elle n’a jamais de nombre dérivé

B. Son taux de variation dépend de a et b

C. Son taux de variation est toujours nul

D. Son taux de variation est constant et vaut m

Answer: (D)

Обяснение

Pour une fonction affine, le taux de variation entre deux réels distincts est constant et égal à m. Cela traduit une pente identique partout.

17. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f en a si f est dérivable en a ?

A. y = f(a)x + f'(a)

B. y = f'(a)x + f(a)

C. y = f(a)(x - a) + f'(a)

D. y = f'(a)(x - a) + f(a)

Answer: (D)

Обяснение

L’équation de la tangente en a est y = f'(a)(x - a) + f(a). Elle combine la pente f'(a) et le point A(a ; f(a)) par lequel passe la droite.

18. Comment peut-on interpréter localement une courbe au voisinage d’un point a lorsqu’elle est dérivable en a ?

A. Comme une parabole de sommet A

B. Comme une droite horizontale dans tous les cas

C. Comme une suite géométrique

D. Comme sa tangente

Answer: (D)

Обяснение

Au voisinage de a, la courbe est approximée localement par sa tangente. C’est l’idée de l’approximation linéaire f(x) \u2248 f'(a)(x - a) + f(a).

19. Quelle formule donne la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque P(A) \u2260 0 ?

A. P(A) / P(A \u2229 B)

B. P(A \u222a B) / P(A)

C. P(A \u2229 B) / P(A)

D. P(B) / P(A)

Answer: (C)

Обяснение

La probabilité conditionnelle de B sachant A est P(A \u2229 B) / P(A). Elle mesure la chance que B se réalise parmi les cas où A est déjà réalisé.

20. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

A. En divisant la probabilité de départ par celle d’arrivée

B. En soustrayant la dernière probabilité à la première

C. En additionnant les probabilités des branches du chemin

D. En multipliant les probabilités des branches du chemin

Answer: (D)

Обяснение

Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches successives. La somme intervient seulement quand un évènement correspond à plusieurs chemins.