Quiz: Analyse probabiliste et modélisation en santé — 14 questions

1. Dans le dépistage du chikungunya, que représente l’évènement T ?

A. Le fait que le moustique tigre a piqué l’individu

B. Le fait que le test de dépistage est positif

C. Le fait que l’individu présente des douleurs articulaires

D. Le fait que l’individu est atteint par le chikungunya

Answer: (B)

Explanation

L’évènement T correspond au test de dépistage positif. L’évènement M désigne, lui, le fait d’être atteint par le chikungunya.

2. Dans la situation étudiée, quelle est la probabilité qu’un individu soit atteint sachant que son test est positif ?

A. Environ 0,005

B. Environ 0,36

C. Environ 0,99

D. Environ 0,95

Answer: (C)

Explanation

La probabilité cherchée est P(M|T), calculée comme P(M∩T)/P(T), ce qui donne environ 0,991. C’est donc bien supérieur à 0,95, ce qui traduit une bonne fiabilité du test dans ce contexte.

3. Si la prévalence est notée p, quelle expression donne la probabilité qu’un test soit positif ?

A. 0,994p + 0,005

B. 0,005p + 0,999(1-p)

C. 0,999p + 0,005(1-p)

D. 0,999p + 0,995(1-p)

Answer: (A)

Explanation

On additionne les vrais positifs et les faux positifs, ce qui conduit à P(T)=0,999p+0,005(1-p)=0,994p+0,005. Les autres expressions ne traduisent pas correctement cette décomposition.

4. À partir de quelle prévalence approximative le test devient-il fiable au sens où P(M|T) dépasse 0,95 ?

A. 0,087

B. 0,95

C. 0,36

D. 0,036

Answer: (A)

Explanation

En résolvant l’inégalité, on obtient p > 0,0868, soit environ 0,087. Au-delà de ce seuil, la proportion de vrais malades parmi les tests positifs dépasse 0,95.

5. Dans le modèle binomial étudié, quelle est la probabilité d’avoir au moins un individu infecté dans un échantillon de taille n ?

A. (0,64)^n

B. 1-(0,64)^n

C. n×0,36

D. 1-(0,36)^n

Answer: (B)

Explanation

Comme la probabilité qu’un individu ne soit pas infecté vaut 0,64, la probabilité de n’avoir aucun infecté est (0,64)^n. Donc P(X≥1)=1-(0,64)^n.

6. Quel est le plus petit entier n tel que la probabilité d’avoir au moins un infecté dépasse 0,99 ?

A. 11

B. 10

C. 12

D. 9

Answer: (A)

Explanation

On résout 1-0,64^n>0,99, ce qui donne n>10,32. Le plus petit entier convenable est donc 11.

7. En posant v_n=u_n-20, quelle relation vérifie la suite (v_n) ?

A. v_{n+1}=2v_n

B. v_{n+1}=v_n+10

C. v_{n+1}=v_n-20

D. v_{n+1}=\tfrac12 v_n

Answer: (D)

Explanation

La récurrence de u_n se transforme en v_{n+1}=\tfrac12 v_n, ce qui montre que (v_n) est géométrique. Sa raison est donc 1/2.

8. Quelle est la limite de la suite (u_n) définie par u_n=20+10\left(\tfrac12\right)^n ?

A. 0

B. 10

C. 20

D. 30

Answer: (C)

Explanation

Comme \left(\tfrac12\right)^n tend vers 0, le terme 10\left(\tfrac12\right)^n s’annule à la limite. La suite (u_n) converge donc vers 20.

9. Quel défaut faut-il corriger dans le programme Python pour qu’il renvoie bien w_n et non w_{n+1} ?

A. Supprimer la variable u_n de la formule

B. Remplacer la valeur initiale 45 par 44,5

C. Remplacer la constante 7 par 34

D. Faire exactement n mises à jour au lieu d’une de plus

Answer: (D)

Explanation

Le programme doit effectuer exactement n mises à jour pour calculer w_n. Une boucle avec un tour de trop renvoie w_{n+1} au lieu de w_n.

10. Quelle est l’expression explicite de la suite auxiliaire (w_n) ?

A. w_n=10n\left(\tfrac12\right)^n+11\left(\tfrac12\right)^n+34

B. w_n=10n+11\left(\tfrac12\right)^n+34

C. w_n=10\left(\tfrac12\right)^n+11n+34

D. w_n=45\left(\tfrac12\right)^n+34

Answer: (A)

Explanation

La formule obtenue est w_n=10n\left(\tfrac12\right)^n+11\left(\tfrac12\right)^n+34. Comme les deux premiers termes s’éteignent, on en déduit aussi que w_n tend vers 34.

11. Pourquoi la droite (d) est-elle orthogonale au plan P ?

A. Parce qu’elle passe par un point du plan P

B. Parce que deux de ses points appartiennent au plan P

C. Parce que son vecteur directeur est proportionnel au vecteur normal du plan P

D. Parce qu’elle est parallèle à une droite du plan P

Answer: (C)

Explanation

Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. Ici, les vecteurs donnés sont proportionnels, ce qui établit l’orthogonalité.

12. Quel critère permet d’affirmer que J est le projeté orthogonal de H sur la droite (CD) ?

A. Les droites (HJ) et (CD) sont sécantes en un point

B. J appartient à (CD) et le produit scalaire de
overrightarrow{HJ} avec
overrightarrow{CD} est nul

C. J appartient au plan P et H appartient à (CD)

D. J est le milieu du segment [HD]

Answer: (B)

Explanation

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite tel que le segment joignant les deux points soit perpendiculaire à cette droite. Cela se traduit ici par l’appartenance de J à (CD) et par l’orthogonalité des vecteurs via le produit scalaire nul.

13. Quelle est la valeur de la constante b dans la fonction f(t)=(at+b)e^{-0,5t} ?

A. 20

B. 60

C. 40

D. 0,5

Answer: (C)

Explanation

Comme f(0)=40 et que e^0=1, on obtient directement b=40. La valeur de a se détermine ensuite à partir de l’équation différentielle.

14. Quelle conclusion peut-on tirer du signe de f'(t)=(40-30t)e^{-0,5t} sur l’intervalle [0;10] ?

A. La fonction décroît puis croît, avec un minimum en t=4/3

B. La fonction croît sur tout l’intervalle

C. La fonction est constante sur tout l’intervalle

D. La fonction croît puis décroît, avec un changement de sens en t=4/3

Answer: (D)

Explanation

Le facteur exponentiel étant toujours positif, le signe de f'(t) dépend de 40-30t. Cette expression s’annule en t=4/3, ce qui donne un maximum : f croît avant puis décroît après.