Revision Sheet: Introduction aux Nombres et Intervalles

Plan du Cours

Représentation géométrique
Notations des ensembles
Inégalités dans ℝ
Intervalles de ℝ
Intersection et réunion
Valeur absolue et distance
Intervalle centré
Nombres ℕ et ℤ
Nombres décimaux
Nombres rationnels
Nombres irrationnels
Puissances et racines

1. Représentation géométrique

Notions clés & Définitions

Représentation géométrique d’un nombre réel : Sur une droite graduée par un repère (O, I), chaque point M de cette droite est associé à un nombre réel x unique, appelé l’abscisse du point M par rapport au repère (O, I). La droite sert à visualiser les nombres réels comme des points, avec leur position déterminée par leur abscisse.
Abscisse d’un point : La valeur réelle x associée à un point M sur la droite graduée (dite aussi l’ensemble ℝ) par le repère (O, I). Elle indique la position du point M par rapport à l’origine O.
Repère (O, I) : Un système de référence constitué de deux éléments : un point O appelé origine, et une droite I (la droite graduée) sur laquelle on place des points. La position d’un point M est déterminée par son abscisse x par rapport à ce repère.

Points essentiels

La droite graduée (dite aussi la droite réelle) est munie d’un repère (O, I) permettant d’associer à chaque point M une valeur x, appelée abscisse, qui est un nombre réel unique.
L’ensemble ℝ des nombres réels peut être représenté géométriquement par cette droite, chaque nombre correspondant à un point précis.
La notation de l’abscisse d’un point M est souvent x, et la position de M est déterminée par cette valeur.
Le repère (O, I) sert à fixer une référence pour mesurer la position des points, en utilisant la notion d’abscisse.

À retenir

La représentation géométrique d’un nombre réel consiste à placer ce nombre comme un point sur une droite graduée, où chaque point est identifié par son abscisse par rapport à un repère (O, I).

2. Notations des ensembles

Notions clés & Définitions

ℝ (ensemble des nombres réels) : L’ensemble de tous les nombres pouvant représenter une position sur une droite graduée.
ℝ (ensemble des nombres réels privé de 0)* : ℝ sans le nombre 0, noté « R étoile ».
ℝ+ (ensemble des nombres réels positifs ou nuls) : L’ensemble des nombres réels tels que x ≥ 0.
ℝ− (ensemble des nombres réels négatifs ou nuls) : L’ensemble des nombres réels tels que x ≤ 0.

Points essentiels

La notation ℝ désigne l’ensemble complet des nombres réels.
ℝ* correspond à ℝ \ {0}, c’est-à-dire tous les nombres réels sauf zéro.
ℝ+ inclut tous les nombres réels positifs et le zéro.
ℝ− inclut tous les nombres réels négatifs et le zéro.
La prononciation est : « R » pour ℝ, « R étoile » pour ℝ*, « R plus » pour ℝ+, et « R moins » pour ℝ−.
Ces notations sont issues de la représentation géométrique d’un nombre réel sur une droite graduée (voir section 1).

À retenir

Les ensembles ℝ, ℝ*, ℝ+ et ℝ− sont des notations fondamentales pour désigner des sous-ensembles précis de l’ensemble des nombres réels, en fonction de leur signe ou de leur exclusion.

3. Inégalités dans ℝ

Notions clés & Définitions

Inégalité dans ℝ : Une relation entre deux nombres réels 𝑎 et 𝑏, indiquant que l’un est inférieur, supérieur ou égal à l’autre. Elle se note généralement avec les symboles ≤, <, ≥, >.
Inégalité non stricte : Une relation où l’on autorise l’égalité, c’est-à-dire 𝑎 ≤ 𝑏 ou 𝑎 ≥ 𝑏. Elle indique que 𝑎 est inférieur ou égal à 𝑏, ou supérieur ou égal à 𝑏.
Inégalité stricte : Une relation où l’on exclut l’égalité, c’est-à-dire 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 > 𝑏. Elle indique que 𝑎 est strictement inférieur ou supérieur à 𝑏.
Définition formelle :
- 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+ (c’est-à-dire que 𝑏 − 𝑎 est un nombre réel positif ou nul)
- 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+∗ (c’est-à-dire que 𝑏 − 𝑎 est un nombre réel strictement positif)

Points essentiels

Les inégalités permettent de comparer deux nombres réels en utilisant la différence 𝑏 − 𝑎.
La relation 𝑎 ≤ 𝑏 est équivalente à dire que 𝑏 − 𝑎 appartient à ℝ+ (positif ou nul).
La relation 𝑎 < 𝑏 est équivalente à dire que 𝑏 − 𝑎 appartient à ℝ+∗ (strictement positif).
Ces définitions formelles relient les inégalités à la notion de distance ou de différence positive dans ℝ.

À retenir

Les inégalités dans ℝ sont définies par la positivation ou la strict positivity de la différence entre deux nombres, permettant une comparaison précise et formelle.

4. Intervalles de ℝ

Notions clés & Définitions

Intervalle fermé [a, b] : Ensemble des nombres réels x tels que a ≤ x ≤ b, noté [a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b }. Il inclut ses bornes a et b.
Intervalle ouvert ]a, b[ : Ensemble des nombres réels x tels que a < x < b, noté ]a, b[. Il n’inclut pas ses bornes a et b.
Bornes d’un intervalle : Les valeurs a et b qui délimitent l’intervalle. Si l’intervalle est fermé, il inclut ses bornes ; s’il est ouvert, il ne les inclut pas.

Points essentiels

La notation [a, b] désigne un intervalle fermé, tandis que ]a, b[ désigne un intervalle ouvert.
Si l’intervalle n’a pas de borne supérieure, on utilise le symbole +∞ ; si pas de borne inférieure, on utilise −∞.
Les intervalles peuvent être de différentes formes selon la nature des bornes :
- Fermé : [a, b]
- Ouvert : ]a, b[
- Semi-ouvert ou semi-fermé : [a, b[ ou ]a, b]
- Infini : [a, +∞[ ou ]−∞, b]
La relation entre deux intervalles peut donner lieu à leur intersection (ensemble commun) ou leur réunion (ensemble réunissant tous leurs éléments).

À retenir

Les intervalles dans ℝ sont des ensembles délimités par deux bornes, pouvant être ouverts, fermés ou semi-ouverts, et sont fondamentaux pour définir des sous-ensembles de ℝ selon la nature de leurs bornes.

5. Intersection et réunion

Notions clés & Définitions

Intersection de deux intervalles : L’ensemble des nombres réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. Si 𝐼 et 𝐽 sont deux intervalles de ℝ, leur intersection, notée 𝑰 ∩ 𝑱, est l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 ∈ 𝐼 et 𝑥 ∈ 𝐽.
Réunion de deux intervalles : L’ensemble des nombres réels qui appartiennent à au moins un des deux intervalles. Si 𝐼 et 𝐽 sont deux intervalles de ℝ, leur réunion, notée 𝑰 U 𝑱, est l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 ∈ 𝐼 ou 𝑥 ∈ 𝐽.
Intervalle disjoint : Deux intervalles 𝐼 et 𝐽 sont disjoints si leur intersection est vide, c’est-à-dire si 𝑰 ∩ 𝑱 = ∅.

Points essentiels

L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle (ou vide si aucun point en commun).
La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Si deux intervalles n’ont pas de points en commun, ils sont disjoints, et leur intersection est vide.
La notation 𝑰 ∩ 𝑱 désigne l’intersection, et 𝑰 U 𝑱 la réunion.
Exemple : Si 𝐼 = [−2, 3] et 𝐽 = [1, 7], alors 𝐼 ∩ 𝐽 = [1, 3] et 𝐼 U 𝐽 = [−2, 7].

À retenir

L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle (ou vide), tandis que leur réunion peut ne pas l’être. La disjointure correspond à une intersection vide.

6. Valeur absolue et distance

Notions clés & Définitions

7. Intervalle centré

Notions clés & Définitions

Intervalle centré : Un intervalle dont les bornes sont définies à partir d’un point $a$ (le centre) et d’un rayon $r > 0$ . Il est constitué de tous les nombres réels dont la distance à $a$ est inférieure ou égale à $r$ .

Rayon d’un intervalle : La moitié de la longueur de l’intervalle centré, c’est-à-dire la valeur $r$ qui mesure la distance maximale entre le centre $a$ et n’importe quel point de l’intervalle.

Milieu d’un intervalle : Le point $a$ qui sert de centre à l’intervalle, situé à égale distance des deux bornes de l’intervalle.

Points essentiels

Un intervalle centré fermé $[a - r, a + r]$ contient tous les nombres $x$ tels que $|x - a| \leq r$ .
La propriété fondamentale est : $x \in [a - r, a + r]$ si et seulement si $|x - a| \leq r$ .
La longueur de l’intervalle centré est $2r$ .
Le rayon $r$ est strictement positif ( $r > 0$ ), garantissant que l’intervalle n’est pas réduit à un seul point.
Le centre $a$ est le point d’équilibre de l’intervalle, situé à égale distance des bornes.

À retenir

L’intervalle centré est entièrement déterminé par son centre $a$ et son rayon $r$ , et il rassemble tous les nombres dont la distance à $a$ ne dépasse pas $r$ .

8. Nombres ℕ et ℤ

Notions clés & Définitions

Ensemble ℕ (entiers naturels) : Ensemble noté ℕ, comprenant tous les entiers non négatifs, c’est-à-dire { 0, 1, 2, 3, …, 𝑛, … } (selon la définition de la source).
Ensemble ℤ (entiers relatifs) : Ensemble noté ℤ, comprenant tous les entiers positifs, négatifs et zéro, soit { …, −𝑛, …, −2, −1, 0, 1, 2, …, 𝑛, … }.
Ensemble ℤ négatif (entiers relatifs négatifs) : Ensemble constitué des entiers relatifs strictement négatifs, c’est-à-dire tous les nombres entiers inférieurs à zéro, excluant zéro. La source indique que cet ensemble est noté mais ne donne pas de symbole précis, il s’agit de l’ensemble des nombres entiers négatifs, privé de zéro.

Points essentiels

Inclusion : L’ensemble ℕ est inclus dans ℤ, ce qui s’écrit ℕ ⊂ ℤ, car tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs.
Définition de ℕ : ℕ = { 0, 1, 2, 3, …, 𝑛, … }.
Définition de ℤ : ℤ = { …, −𝑛, …, −2, −1, 0, 1, 2, …, 𝑛, … }.
Ensemble ℤ négatif : Ensemble des entiers négatifs, privé de zéro, désigné dans la source mais sans symbole spécifique.

À retenir

Les ensembles ℕ et ℤ sont fondamentaux pour la classification des nombres entiers, ℕ étant l’ensemble des entiers naturels (non négatifs) et ℤ celui des entiers relatifs (positifs, négatifs et zéro).

9. Nombres décimaux

Notions clés & Définitions

Nombres décimaux : Ensemble des nombres de la forme 𝑎 × 10ⁿ avec 𝑎 ∈ ℤ et 𝑛 ∈ ℕ (source : définition).
Représentation décimale d’un nombre : Écriture d’un nombre en utilisant une notation avec une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule ou un point, correspondant à une écriture avec un nombre fini de chiffres (source : définition).
Nombre décimal fini : Nombre décimal qui s’écrit avec un nombre limité de chiffres après la virgule.
Relation entre ℤ et D : L’ensemble des nombres entiers relatifs ℤ est inclus dans l’ensemble des nombres décimaux D (source : remarque).

Points essentiels

Les nombres décimaux sont précisément ceux qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres, c’est-à-dire qu’ils peuvent s’écrire sous la forme 𝑎 × 10ⁿ, avec 𝑎 entier relatif et 𝑛 naturel (source : définition).
La propriété fondamentale : pour tout nombre réel 𝑥 et tout entier naturel 𝑛, il existe un nombre décimal 𝑑 tel que |𝑥 − 𝑑| ≤ 1/10ⁿ, ce qui permet d’approcher un nombre réel par un nombre décimal à une précision donnée (source : propriété).
La relation d’inclusion : ℤ ⊂ D, c’est-à-dire que tous les entiers relatifs sont aussi des nombres décimaux (source : remarque).
La différence entre nombres décimaux et rationnels : tous les décimaux sont rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas décimaux (source : remarque).
Exemple d’un nombre décimal : 1,25 = 125/100 (source : exemples).

À retenir

Les nombres décimaux sont des nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres, permettant une représentation précise et approchée des nombres réels à toute précision souhaitée.

10. Nombres rationnels

Notions clés & Définitions

Ensemble ℚ des nombres rationnels : L’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction 𝑎/𝑏, où 𝑎 ∈ ℤ et 𝑏 ∈ ℤ∗ (l’ensemble des entiers relatifs non nul).
Fraction d’entiers : Une expression de la forme 𝑎/𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 deux entiers, et 𝑏 ≠ 0.
Nombres rationnels comme décimaux : Tous les nombres rationnels peuvent s’écrire sous forme décimale, c’est-à-dire avec un nombre fini ou périodique de chiffres après la virgule.

Points essentiels

L’ensemble ℚ est défini par tous les nombres pouvant s’écrire comme une fraction d’entiers, c’est-à-dire de la forme 𝑎/𝑏 avec 𝑎 ∈ ℤ et 𝑏 ∈ ℤ∗.
Tous les nombres décimaux qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule sont des rationnels. Cependant, tous les rationnels ne sont pas nécessairement décimaux finis, certains ont une expansion décimale périodique.
La propriété importante est que l’ensemble ℚ est constitué uniquement de nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fractions d’entiers.
La notation 𝑎/𝑏 est appelée fraction d’entiers, et représente un nombre rationnel.
La réciproque est vraie : tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme décimale, ce qui montre que les rationnels sont aussi représentés par des décimaux.

À retenir

Les nombres rationnels sont précisément ceux qui peuvent s’écrire comme une fraction d’entiers, ce qui leur permet d’être représentés aussi bien sous forme fractionnaire que décimale, avec un développement fini ou périodique.

11. Nombres irrationnels

Notions clés & Définitions

Nombres irrationnels : Ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ce sont des nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ .
Source : Définition (source fournie)
Exemples de nombres irrationnels : √2, π, √5 + √13, −√3, √7.
Source : Exemples (source fournie)
Propriété des nombres irrationnels : L’ensemble des nombres irrationnels est constitué de tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels. Il est inclus dans l’ensemble des réels, qui lui-même contient tous les rationnels.
Source : Remarque (source fournie)

12. Puissances et racines

Notions clés & Définitions

Puissances d’un nombre réel : Pour un réel 𝑎 et un entier naturel 𝑛 ≥ 1, la puissance 𝑎ⁿ est le produit de 𝑎 par lui-même 𝑛 fois, c’est-à-dire 𝑎 × 𝑎 × ... × 𝑎 (𝑛 facteurs). Par convention, 𝑎⁰ = 1.

Propriétés des puissances :

𝑎ᵐ × 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ+ⁿ (pour tous 𝑎 ∈ ℝ∗ et 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ)
(𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐ×ⁿ (pour tous 𝑎 ∈ ℝ∗ et 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ)
(𝑎 × 𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ × 𝑏ⁿ (pour tous 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ et 𝑛 ∈ ℤ)
𝑎ᵐ / 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ−ⁿ (pour tous 𝑎 ∈ ℝ∗ et 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ)
(1/𝑎)ⁿ = 1 / 𝑎ⁿ (pour tous 𝑎 ∈ ℝ∗ et 𝑛 ∈ ℤ⁺)

Exposant n : Un entier naturel n, noté 𝑛, qui indique le nombre de facteurs dans la puissance 𝑎ⁿ ou l’ordre de la racine.

Points essentiels

La puissance 𝑎ⁿ est définie pour 𝑎 ∈ ℝ∗ et 𝑛 ∈ ℕ∗, avec 𝑎⁰ = 1.
La propriété 𝑎ᵐ × 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ+ⁿ permet de simplifier le produit de puissances de même base.
La propriété (𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐ×ⁿ montre que l’exposant peut être multiplié lors d’une puissance d’une puissance.
La division de puissances 𝑎ᵐ / 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ−ⁿ est valable pour 𝑎 ≠ 0.
La valeur 𝑎⁻ⁿ = 1 / 𝑎ⁿ permet d’étendre la définition aux exposants négatifs.
La puissance d’un produit (𝑎 × 𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ × 𝑏ⁿ permet de distribuer l’exposant sur un produit.

À retenir

Les puissances d’un nombre réel obéissent à des règles de multiplication, division et d’exposants qui facilitent la simplification et la manipulation des expressions algébriques. La connaissance de ces propriétés est essentielle pour maîtriser les opérations avec les puissances et les racines.

Tableaux de Synthèse

Notation	Signification	Description	Auteur/Source
ℝ	Ensemble des nombres réels	Tous les nombres pouvant représenter une position sur une droite graduée	Contenu fourni
ℝ*	ℝ \ {0}	Ensemble des réels sauf zéro	Contenu fourni
ℝ+	Nombres réels positifs ou nuls	x ≥ 0	Contenu fourni
ℝ−	Nombres réels négatifs ou nuls	x ≤ 0	Contenu fourni
[a, b]	Intervalle fermé	{ x ∈ ℝ	a ≤ x ≤ b }
]a, b[	Intervalle ouvert	{ x ∈ ℝ	a < x < b }
𝑰 ∩ 𝑱	Intersection	Ensemble commun à deux intervalles	Contenu fourni
𝑰 U 𝑱	Réunion	Ensemble des éléments appartenant à au moins un des deux intervalles	Contenu fourni

Pièges & Confusions Fréquentes

Confondre l’intervalle ouvert ]a, b[ avec l’intervalle fermé [a, b], notamment lors de leur utilisation dans des démonstrations ou calculs.
Oublier que l’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle ou vide, et ne pas vérifier si deux intervalles sont disjoints.
Confondre ℝ+ et ℝ− avec ℝ+∗ et ℝ−∗ : ces derniers excluent zéro.
Mal interpréter la notation [a, +∞[ ou ]−∞, b], en particulier la différence entre ouvert et fermé.
Confondre la relation d’inégalité strictes (<, >) avec non strictes (≤, ≥) lors de la résolution d’inéquations.
Confondre la représentation géométrique d’un nombre réel par un point et la notion d’abscisse.
Omettre de vérifier si une différence (b − a) appartient à ℝ+ ou ℝ+∗ pour établir une inégalité.

Checklist Examen

Connaître la définition de la représentation géométrique d’un nombre réel sur une droite graduée.
Savoir ce qu’est un repère (O, I) et comment il sert à fixer la position d’un point par son abscisse.
Maîtriser la notation et la signification des ensembles ℝ, ℝ*, ℝ+, et ℝ−.
Savoir définir une inégalité dans ℝ en termes de différence positive ou strictement positive.
Connaître la différence entre intervalle ouvert, fermé, semi-ouvert, et leur notation.
Savoir calculer et décrire l’intersection et la réunion de deux intervalles.
Comprendre la notion de disjointure d’intervalles et ses implications.
Maîtriser la définition de la valeur absolue d’un nombre.
Savoir relier la valeur absolue à la notion de distance dans ℝ.
Connaître la définition d’un intervalle centré et comment le représenter.
Savoir distinguer les nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ irrationnels, et leur rôle dans la représentation des nombres réels.
Connaître la définition et la propriété des puissances et racines dans ℝ.

📋 Plan du Cours

📖 1. Représentation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 2. Notations des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 3. Inégalités dans ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 4. Intervalles de ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 5. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

📖 7. Intervalle centré

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 8. Nombres ℕ et ℤ

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 9. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 10. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 11. Nombres irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

📖 12. Puissances et racines

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

✅ Checklist Examen

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1. Représentation géométrique

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

2. Notations des ensembles

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Points essentiels

À retenir

3. Inégalités dans ℝ

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

4. Intervalles de ℝ

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

5. Intersection et réunion

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

6. Valeur absolue et distance

Notions clés & Définitions

7. Intervalle centré

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

8. Nombres ℕ et ℤ

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

9. Nombres décimaux

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

10. Nombres rationnels

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

11. Nombres irrationnels

Notions clés & Définitions

12. Puissances et racines

Notions clés & Définitions

Points essentiels

À retenir

Tableaux de Synthèse

Pièges & Confusions Fréquentes

Checklist Examen