Revision sheet: Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle et formule
2. Formule des probabilités totales
3. Arbres de probabilité et somme sur chemins
4. Indépendance de deux événements

📖 1. Probabilité conditionnelle et formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance d’un événement A sachant que B est déjà réalisé.
• Intersection : L’intersection $A\cap B$ représente l’événement où A et B se produisent ensemble.
• Probabilité $P(B)$ : La probabilité $P(B)$ quantifie la chance que l’événement B se réalise.

📝 Points essentiels

• La formule de probabilité conditionnelle est $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ (avec $P(B)>0$).
• On peut relier l’intersection aux probabilités conditionnelles via $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et aussi $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$.
• Si $P_A(B)$ désigne la probabilité de B sachant A, alors $P_A(B)=1-P_A(\overline{B})$ (complément).
• La notation $P_A(B)$ signifie “probabilité de B sous la condition A”.
• La formule $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ sert de pont entre intersection et conditionnement.

💡 Astuce mémo

P(A|B) = “A dans le monde où B arrive” : on divise par la probabilité de B.

📖 2. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime une probabilité comme somme de probabilités d’intersections avec une partition.
• Partition en événements disjoints : Une partition décompose l’univers en événements $A_1,\dots,A_n$ deux à deux disjoints dont l’union couvre le cas considéré.
• Événements disjoints : Des événements disjoints ne peuvent pas se réaliser en même temps.

📝 Points essentiels

• Si $A$ et son complément $\overline{A}$ forment une partition, alors $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.
• Plus généralement, si $A_1,\dots,A_n$ sont disjoints et couvrent le cas, alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i\cap B)$.
• Dans la somme, chaque terme $P(A_i\cap B)$ correspond au cas où $A_i$ est réalisé puis $B$ aussi.
• La somme sur une partition remplace le “conditionnement implicite” par une addition de cas disjoints.
• Le passage $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ est une application directe de la décomposition en deux cas.

💡 Astuce mémo

Totales = “on découpe en cas disjoints” puis on additionne les intersections.

📖 3. Arbres de probabilité et somme sur chemins

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilité : Un arbre de probabilité représente des successions de conditions sous forme de branches et de produits de probabilités.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches menant à un événement final, correspondant à un cas précis.
• Somme sur chemins : La somme sur chemins additionne les probabilités des chemins menant à un même événement.

📝 Points essentiels

• La probabilité au nœud initial vaut 1 : on part d’une racine certaine.
• La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches du chemin.
• Pour un événement comme $A\cap B$, on peut lire un chemin du type $A\to B$ et associer la probabilité correspondante.
• Si $B$ peut être atteint par plusieurs chemins disjoints, alors $P(B)$ est la somme des probabilités de ces chemins.
• Exemple de structure : $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B)$ quand les $A_i$ sont disjoints.

💡 Astuce mémo

Chemin = produit ; plusieurs chemins vers $B$ = somme.

📖 4. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Conditionnement $P_A(B)$ : $P_A(B)$ est la probabilité de B lorsque A est supposé réalisé.
• Égalité $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ : Cette égalité caractérise l’indépendance en reliant intersection et produit des probabilités.

📝 Points essentiels

• Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Une condition équivalente est $P_A(B)=P(B)$ : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
• On peut aussi écrire l’équivalence $P_A(B)=P(B)\iff A$ et $B$ indépendants.
• Interprétation : le premier événement n’a aucun effet sur la réalisation du second quand l’indépendance vaut.
• Si A et B sont indépendants, alors le conditionnement “sachant A” ne sert à rien pour calculer la probabilité de B.

💡 Astuce mémo

Indépendance = “conditionner ne change rien” : $P_A(B)=P(B)$.

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance vs conditionnement

Situation	Formule	Conséquence
Conditionnement général	$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$	$P_A(B)$ peut dépendre de A
Indépendance	$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$	$P_A(B)=P(B)$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P(A\mid B)$ avec $P(B\mid A)$ : l’ordre des événements compte.
2. Oublier que la formule $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ nécessite $P(B)>0$.
3. Utiliser une somme sur chemins alors que les cas ne sont pas disjoints : il faut additionner des probabilités de chemins disjoints.
4. Croire que $P_A(B)=P(B)$ est une conséquence automatique du fait que A et B apparaissent ensemble : c’est une condition d’indépendance.
5. Mélanger intersection et union : les formules données concernent $A\cap B$, pas $A\cup B$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ et identifier $P(A\cap B)$.
2. Savoir exprimer $P(A\cap B)$ sous la forme $P(A)\times P_A(B)$ ou $P(B)\times P_B(A)$.
3. Savoir utiliser la formule des probabilités totales avec une partition, notamment $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.
4. Savoir lire un arbre : probabilité d’un chemin = produit des branches.
5. Savoir calculer $P(B)$ à partir d’un arbre en additionnant les probabilités des chemins disjoints menant à B.
6. Savoir reconnaître l’indépendance via $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ou via $P_A(B)=P(B)$.
7. Savoir interpréter l’indépendance : “sachant A, la probabilité de B ne change pas”.