Analyse des fonctions et dérivées

F de révision : Analyse des fonctions (dérivées, convexité, tangentes)

1. 📌 L'essentiel

• La dérivée $f’(x)$ indique la croissance ou décroissance d’une fonction.
• $f’(x) > 0$ : fonction croissante ; $f’(x) < 0$ : décroissante.
• Equation de la tangente en $a$ : $y= f’(a)(x - a) + f(a)$.
• Fonction exponentielle : $f(x) = e^x$, toujours positive, dérivée = elle-même.
• La dérivée seconde $f’’(x)$ permet d’étudier la convexité et les points d’inflexion.
• Convexité : $f’’(x) > 0$ (convexe), $f’’(x) < 0$ (concave).
• Changements de signe de $f’’(x)$ : points d’inflexion.
• Formules clés : $(x^n)’= nx^{n-1}$, $(e^x)’= e^x$, $(\ln x)’= 1/x$.
• Opérations sur dérivées : linéarité et dérivation de fonctions composées.
• Analyse des variations, extrema, convexité et tangentes pour étudier la fonction.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Dérivée $f’(x)$ — indique la pente de la tangente, sens de variation.
• Tangente en $a$ — approximation locale : $y= f’(a)(x - a) + f(a)$.
• Fonction exponentielle $e^x$ — dérivée = elle-même, toujours positive.
• Dérivée seconde $f’’(x)$ — mesure la convexité et points d’inflexion.
• Convexité / Concavité — déterminée par le signe de $f’’(x)$.
• Formules de dérivées usuelles — $(x^n)’$, $(e^x)’$, $(\ln x)’$.
• Opérations sur dérivées — linéarité, dérivation de composées.
• Points critiques — solutions de $f’(x)=0$.
• Inflexions — points où $f’’(x)$ change de signe.