Analyse des fonctions inverses et leurs variations

📋 Plan du Cours

1. Fonction inverse et courbe représentative
2. Dérivée et variations de 1 sur x
3. Extremums de 3 sur x
4. Ventilation et fonction 300 sur x
5. Variations et tangente d’une fonction

📖 1. Fonction inverse et courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Une fonction inverse associe à tout réel x non nul son inverse 1/x, ce qui impose une exclusion de x = 0.
• Hyperbole y = 1/x : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole d’équation y = 1/x, composée de deux branches séparées par la valeur interdite x = 0.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=1/x, la fonction n’est pas définie pour x=0, donc il faut tracer en deux morceaux.
• La courbe y=1/x a deux branches et ne coupe jamais les axes malgré son rapprochement pour des x très grands ou très petits.
• Tableau (arrondi à 0,1) : f(-5)=-0,2 ; f(-4)=-0,25 ; f(-3)=-0,33 ; f(-2)=-0,5 ; f(-1)=-1 ; f(-0,5)=-2 ; f(0,5)=2 ; f(1)=1 ; f(2)=0,5 ; f(3)=0,33 ; f(4)=0,25 ; f(5)=0,2.
• Exemples numériques : si x=1 000 000 alors y=0,000 001 et si x=0,000 001 alors y=1 000 000.

💡 Astuce mémo

Deux branches : ça casse en x=0, mais ça “file” vers 0 quand x grandit.

📖 2. Dérivée et variations de 1 sur x

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de 1/x : La dérivée de la fonction inverse 1/x vaut -1/x².
• Variations décroissantes : Une fonction est décroissante sur un intervalle si sa dérivée y est strictement négative.

📝 Points essentiels