Revision sheet: Analyse des oscillations en physique

📋 Plan du Cours

1. Oscillations libres en physique
2. Oscillateur harmonique non amorti
3. Équation d’évolution oscillateur
4. Énergie mécanique oscillateur
5. Oscillateur amorti
6. Régimes d’évolution amorti
7. Équation différentielle oscillateur
8. Énergie potentielle oscillateur
9. Solutions régimes amortis
10. Pendule simple oscillations

📖 1. Oscillations libres en physique

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillation libre : Mouvement périodique d’un système isolé, sans force extérieure continue, autour d’une position d’équilibre stable. La seule force agissant est conservative, comme la force de rappel d’un ressort ou la gravitation dans un pendule.

• Oscillateur harmonique : Système dont le mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire du second ordre de la forme ¨x(t) + ω₀² x(t) = 0, où ω₀ est la pulsation propre. Exemple : masse-ressort, pendule simple pour petites amplitudes.

• Pulsation propre (ω₀) : Fréquence angulaire caractéristique d’un oscillateur, exprimée en rad.s⁻¹, correspondant à la fréquence naturelle du système sans amortissement. Relation avec la période T₀ : ω₀ = 2π / T₀.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle (Ep) et cinétique (Ec) d’un oscillateur. Elle reste constante en l’absence d’amortissement et de forces non conservatives. Elle est proportionnelle au carré de l’amplitude.

• Amortissement : Dissipation d’énergie dans un système oscillant, généralement par frottements ou résistance, entraînant une diminution progressive de l’amplitude. Modélisé par une force de frottement proportionnelle à la vitesse.

📝 Points essentiels

• La solution générale de l’équation de l’oscillateur harmonique non amorti est :
  $x(t) = xe + Xm \cos(\omega_0 t + \varphi)$ où $xe$ est la position d’équilibre, $Xm$ l’amplitude, et $\varphi$ la phase initiale.

• La période propre $T_0$ et la fréquence propre $f_0$ sont liées à la pulsation par :
  $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \quad \text{et} \quad f_0 = \frac{1}{T_0}$

• En régime non amorti, l’énergie mécanique est constante et répartie équitablement entre énergie potentielle et cinétique (équipartition).

• La force de rappel dans un oscillateur harmonique est conservative, ce qui garantit la stabilité du mouvement autour de la position d’équilibre.

• En cas d’amortissement, le mouvement devient périodique avec décroissance de l’amplitude, et le système peut présenter différents régimes (apériodique, critique, pseudo-périodique) selon le facteur de qualité $Q$.

💡 À retenir

Les oscillations libres sont des mouvements périodiques autour d’une position d’équilibre, modélisés par l’oscillateur harmonique, dont la fréquence naturelle dépend des caractéristiques du système. En l’absence d’amortissement, l’énergie mécanique reste constante, permettant un mouvement perpétuel.

📖 2. Oscillateur harmonique non amorti

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique non amorti : Système oscillant autour d’une position d’équilibre stable sans perte d’énergie, modélisé par une équation différentielle homogène.
• Pulsation propre (ω₀) : La fréquence angulaire naturelle du système, en rad.s⁻¹, caractéristique de l’oscillateur sans amortissement.
• Solution générale : Forme de la solution de l’équation différentielle, généralement $x(t) = xe + Xm \cos(\omega_0 t + \varphi)$, où $xe$ est la position d’équilibre.
• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle et cinétique, constante en l’absence d’amortissement, proportionnelle à $Xm^2$.
• Amplitude (Xm) : Valeur maximale de l’écart par rapport à la position d’équilibre, déterminée par les conditions initiales.

📝 Points essentiels

• La dynamique d’un oscillateur harmonique non amorti est décrite par l’équation :
  $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$.
• La solution générale :
  $x(t) = xe + Xm \cos(\omega_0 t + \varphi)$, où $Xm$ est l’amplitude, et $\varphi$ une phase déterminée par les conditions initiales.
• La période propre :
  $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$.
• L’énergie mécanique :
  $Em = \frac{1}{2}kXm^2$, oscillant entre énergie potentielle maximale (au point d’amplitude) et énergie cinétique nulle.
• La conservation de l’énergie :
  En absence d’amortissement, l’énergie mécanique reste constante, avec un échange permanent entre énergie potentielle et cinétique.

💡 À retenir

L’oscillateur harmonique non amorti oscille indéfiniment avec une amplitude constante, une période propre fixe, et une énergie mécanique conservée, modélisant idéalement un mouvement sans pertes.

📖 3. Équation d’évolution oscillateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique non amorti : Système oscillant autour d’une position d’équilibre stable sans perte d’énergie, modélisé par l’équation différentielle ¨x + ω₀² x = 0, où ω₀ est la pulsation propre.
• Pulsation propre (ω₀) : La fréquence angulaire naturelle d’un oscillateur, en rad.s⁻¹, caractéristique du système sans amortissement, liée à la période T₀ par ω₀ = 2π/T₀.
• Solution générale : Forme de la solution de l’équation différentielle harmonique : x(t) = Xm cos(ω₀ t + ϕ), où Xm est l’amplitude et ϕ la phase initiale.
• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle (Ep) et cinétique (Ec), constante pour un oscillateur non amorti, proportionnelle à Xm².
• Oscillateur amorti : Système soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse, modélisé par ¨x + (ω₀/Q) ˙x + ω₀² x = 0, où Q est le facteur de qualité.
• Régimes d’évolution : Différents comportements selon Q : apériodique (fort amortissement), critique (amortissement critique), pseudo-périodique (faible amortissement).

📝 Points essentiels

• L’équation d’évolution d’un oscillateur harmonique est ¨x + ω₀² x = 0, solution oscillatoire avec une fréquence propre ω₀.
• La solution générale s’écrit x(t) = Xm cos(ω₀ t + ϕ), avec Xm déterminée par les conditions initiales.
• La période propre T₀ = 2π/ω₀ caractérise la durée d’une oscillation complète.
• L’énergie mécanique Em est constante en l’absence d’amortissement et dépend de l’amplitude Xm : Em = (1/2) k Xm².
• En présence d’amortissement, l’équation devient ¨x + (ω₀/Q) ˙x + ω₀² x = 0, avec Q influençant la nature du régime oscillatoire.
• Le facteur de qualité Q indique la qualité de l’oscillation : Q élevé → oscillations peu amorties, Q faible → amortissement fort.

💡 À retenir

L’équation d’évolution d’un oscillateur harmonique modélise un mouvement périodique dont la fréquence et l’énergie dépendent des paramètres du système, et l’introduction de l’amortissement modifie la nature du mouvement selon le facteur de qualité Q.

📖 4. Énergie mécanique oscillateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Système mécanique dont le mouvement est décrit par une fonction sinusoïdale, obéissant à l’équation $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$. Il oscille autour d’une position d’équilibre stable.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle ($E_p$) et de l’énergie cinétique ($E_c$) d’un système oscillant. Elle reste constante dans un oscillateur non amorti.

• Énergie potentielle ($E_p$) : Énergie stockée dans le système en raison de sa position, pour un oscillateur harmonique $E_p = \frac{1}{2} k x^2$.

• Énergie cinétique ($E_c$) : Énergie liée au mouvement, donnée par $E_c = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$. Elle varie au cours du mouvement, étant maximale à l’équilibre.

• Amplitude ($X_m$) : Valeur maximale de la déviation $x(t)$ par rapport à la position d’équilibre. L’énergie mécanique est proportionnelle à $X_m^2$.

• Facteur de qualité (Q) : Paramètre caractérisant l’amortissement, indiquant le nombre d’oscillations visibles avant amortissement significatif. Plus Q est élevé, moins l’amortissement est important.

Points essentiels

• Dans un oscillateur harmonique idéal (non amorti), l’énergie mécanique est constante et répartie également entre $E_p$ et $E_c$.

• La relation $E_p = \frac{1}{2} k X_m^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)$ montre que l’énergie potentielle varie sinusoidal, tout comme l’énergie cinétique, mais en déphasage de $\pi/2$.

• La somme $E_m = E_p + E_c$ reste constante, illustrant l’échange d’énergie entre potentiel et cinétique.

• En régime amorti, l’énergie mécanique décroît exponentiellement avec le temps, dépendant du facteur de qualité $Q$.

• La période propre $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$ est indépendante de l’amplitude dans le cas idéal.

Point à retenir

L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de son amplitude et oscille entre énergie potentielle et cinétique, restant constante dans un système non amorti, mais décroissant exponentiellement dans un système amorti.

📖 5. Oscillateur amorti

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur amorti : Système oscillant dont l’amplitude diminue au fil du temps en raison de forces de frottement ou de résistance, contrairement à un oscillateur non amorti.
• Facteur de qualité (Q) : Paramètre caractérisant le degré d’amortissement d’un oscillateur ; plus Q est élevé, moins l’amortissement est important, et inversement.
• Équation différentielle du mouvement : Forme mathématique décrivant la dynamique de l’oscillateur amorti :
  $\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q} \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ où $\omega_0$ est la pulsation propre, $Q$ le facteur de qualité.
• Régimes d’évolution : Différents comportements selon la valeur de Q :
  • Apériodique (Q faible) : oscillations fortement amorties, disparition rapide.
  • Critique (Q = 1/2) : amortissement juste suffisant pour arrêter l’oscillation en temps minimal.
  • Pseudo-périodique (Q élevé) : oscillations avec amortissement léger, nombre d’oscillations visibles élevé.
• Temps caractéristique d’amortissement ($\tau$) : Durée nécessaire pour que l’amplitude diminue d’un facteur $e$, lié à Q par :
  $\tau = \frac{Q}{\omega_0}$

Points essentiels

• La solution de l’équation différentielle dépend du régime d’amortissement, déterminé par Q.
• En régime pseudo-périodique, l’amplitude décroît selon une loi exponentielle :
  $x(t) \sim e^{-\frac{\omega_0}{2Q} t}$
• Le facteur de qualité $Q$ est relié au nombre d’oscillations visibles avant amortissement complet : plus Q est élevé, plus le système oscille longtemps.
• La résolution de l’équation différentielle permet d’obtenir la position $x(t)$ en fonction du temps, en intégrant les conditions initiales.
• La notion d’énergie mécanique est modifiée par l’amortissement : l’énergie diminue exponentiellement avec le temps.

💡 À retenir

L’oscillateur amorti présente un comportement oscillatoire dont l’amplitude décroît exponentiellement, caractérisé par le facteur de qualité $Q$ ; plus Q est élevé, plus l’oscillation dure longtemps avec peu d’amortissement.

📖 6. Régimes d’évolution amorti

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique non amorti : Système oscillant sans forces de frottement, caractérisé par une équation différentielle homogène ¨x + ω₀² x = 0, où ω₀ est la pulsation propre. La solution est une oscillation périodique de période T₀ = 2π/ω₀.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle (Ep) et cinétique (Ec). Elle reste constante dans un oscillateur non amorti, proportionnelle à l’amplitude au carré.

• Oscillateur amorti : Système soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse, décrite par ¨x + (ω₀/Q) ˙x + ω₀² x = 0, où Q est le facteur de qualité. Il présente différents régimes d’évolution selon Q.

• Régimes d’évolution :

  • Apériodique : Amortissement fort, oscillations rapidement dissipées, pas de périodicité visible.
  • Critique : Amortissement juste, oscillations qui décroissent rapidement sans oscillation périodique.
  • Pseudo-périodique : Amortissement faible, oscillations visibles avec une fréquence apparente proche de ω₀, caractérisé par un temps d’amortissement τ.

• Facteur de qualité (Q) : Indicateur de la qualité de l’oscillation, lié au nombre d’oscillations avant amortissement significatif. Plus Q est élevé, plus l’oscillation est durable.

📝 Points essentiels

• La solution de l’équation d’un oscillateur harmonique non amorti est une fonction périodique : x(t) = Xm cos(ω₀ t + ϕ).
• L’énergie mécanique dans un oscillateur non amorti est constante et répartie également entre énergie potentielle et cinétique.
• L’introduction de frottements modifie le comportement : selon la valeur de Q, on observe trois régimes distincts.
• En régime pseudo-périodique, le temps caractéristique d’amortissement τ est relié au facteur Q par τ ≈ (π Q)/ω₀.
• La résolution de l’équation différentielle amortie permet de prévoir la décroissance de l’amplitude et de déterminer le régime d’évolution.

💡 À retenir

Les régimes d’évolution d’un oscillateur amorti dépendent du facteur de qualité Q : faible pour un amortissement fort (apériodique), élevé pour une oscillation durable (pseudo-périodique). La compréhension de ces régimes permet d’analyser et de prédire le comportement des systèmes oscillants soumis à des frottements.

📖 7. Équation différentielle oscillateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Système mécanique ou électrique dont le mouvement ou la variable d’état suit une loi sinusoïdale, modélisé par une équation différentielle linéaire du second ordre sans terme de premier ordre.

• Pulsation propre (ω₀) : La fréquence angulaire naturelle d’un oscillateur, en rad.s⁻¹, caractérisant la vitesse de oscillation sans amortissement ni force extérieure. Elle s’exprime par ω₀ = √(k/m) pour un système masse-ressort.

• Solution générale : La solution de l’équation différentielle homogène d’un oscillateur harmonique est de la forme x(t) = Xm cos(ω₀t + ϕ), où Xm est l’amplitude et ϕ la phase initiale.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle (Ep) et de l’énergie cinétique (Ec). Elle reste constante dans un oscillateur non amorti, proportionnelle à Xm².

• Oscillateur amorti : Système soumis à une force de frottement ou résistance, modélisé par une équation différentielle incluant un terme de premier ordre (˙x), caractérisé par un facteur de qualité Q ou un temps de relaxation τ.

• Régimes d’évolution : Différents comportements selon le facteur de qualité Q :

  • Pseudo-périodique : oscillations amorties, avec décroissance exponentielle.
  • Critique : amortissement juste suffisant pour arrêter l’oscillation sans oscillation supplémentaire.
  • Aperiodique : amortissement fort, pas d’oscillation, retour rapide à l’équilibre.

📝 Points essentiels

• Équation d’un oscillateur harmonique :
  $\boxed{\ddot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0}$ avec $\omega_0$ la pulsation propre. La solution générale est :
  $x(t) = Xm \cos(\omega_0 t + \varphi)$

• Relation entre pulsation, période et fréquence :
  $\omega_0 = 2\pi / T_0 = 2\pi f_0$ où $T_0$ est la période propre, et $f_0$ la fréquence propre.

• Énergie mécanique dans un oscillateur non amorti :
  $Em = \frac{1}{2}kXm^2$ avec échanges continus entre énergie potentielle et cinétique.

• Équation d’un oscillateur amorti :
  $\boxed{\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q} \dot{x} + \omega_0^2 x = 0}$ où $Q$ est le facteur de qualité, indiquant la qualité de l’oscillation (amortissement).

• Régimes d’amortissement :

  • Q faible : régime apériodique, décroissance rapide.
  • Q critique : amortissement optimal, oscillation la plus rapide pour revenir à l’équilibre.
  • Q élevé : régime pseudo-périodique, oscillations persistantes avec décroissance lente.

• Solution en régime amorti :
  $x(t) = A e^{-\frac{\omega_0}{2Q} t} \cos(\omega t + \phi)$ avec $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$.

💡 À retenir

L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique modélise un mouvement sinusoïdal, dont la fréquence propre dépend du système, et l’amortissement introduit une décroissance exponentielle, avec des régimes variés selon le facteur de qualité Q.

📖 8. Énergie potentielle oscillateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie potentielle (Ep) : Énergie emmagasinée dans un système en raison de sa configuration, généralement liée à la position par rapport à une référence d’équilibre. Pour un oscillateur harmonique, Ep = (1/2) k x², où k est la constante de raideur et x la déviation par rapport à l’équilibre.

• Oscillateur harmonique : Système soumis à une force conservative proportionnelle à la déviation (force de Hooke), décrivant un mouvement oscillatoire sinusoïdal. La force est donnée par F = -k x.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie cinétique (Ec) et de l’énergie potentielle (Ep). Em = Ec + Ep, constante en absence de forces non conservatives.

• Énergie potentielle dans un oscillateur amorti : Modifiée par la présence de frottements ou forces dissipatives, ce qui entraîne une diminution progressive de l’énergie mécanique.

• Amplitudes et énergie : L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l’amplitude Xm : Em ∝ Xm². La valeur moyenne de Ep et Ec est égale (équipartition de l’énergie).

📝 Points essentiels

• La forme de l’énergie potentielle pour un oscillateur harmonique est une parabole : Ep(x) = (1/2) k x², avec un minimum en x = 0 (position d’équilibre stable).

• L’énergie potentielle atteint son maximum à l’amplitude Xm : Ep(Xm) = (1/2) k Xm².

• La variation de l’énergie potentielle au cours du temps est périodique, oscillant avec Ec, de sorte que la somme Em reste constante en l’absence de frottements.

• Dans un oscillateur amorti, l’énergie potentielle diminue avec le temps, reflétant la dissipation d’énergie par frottements.

• La connaissance de l’énergie potentielle permet de caractériser le mouvement et d’établir des relations entre amplitude, énergie et phase.

💡 À retenir

L’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique est une parabole centrée sur la position d’équilibre, et sa variation périodique reflète l’échange constant avec l’énergie cinétique, constituant la base de la compréhension énergétique des oscillations.

📖 9. Solutions régimes amortis

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur amorti : Système oscillant soumis à une force de frottement ou d’amortissement proportionnelle à la vitesse, entraînant une diminution progressive de l’amplitude des oscillations.

• Facteur de qualité (Q) : Paramètre caractéristique quantifiant la qualité d’un oscillateur amorti, lié à la durée de l’oscillation. Plus Q est élevé, plus l’amortissement est faible, et inversement.

• Régimes d’évolution :

  • Apériodique : Oscillations sans période définie, décroissance rapide, Q faible.
  • Critique : Amortissement optimal, oscillations qui s’éteignent en le plus court temps sans oscillation persistante.
  • Pseudo-périodique : Oscillations avec une période apparente, décroissance lente, Q élevé.

• Équation différentielle d’un oscillateur amorti : Forme générale :
  $\ddot{x}(t) + \frac{\omega_0}{Q} \dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$ où $\omega_0$ est la pulsation propre, $Q$ le facteur de qualité.

📝 Points essentiels

• La solution générale de l’équation d’un oscillateur amorti dépend du régime d’amortissement :

  • Q faible (Q < 1/2) : régime apériodique, décroissance exponentielle sans oscillations.
  • Q critique (Q = 1/2) : amortissement critique, oscillations qui s’éteignent rapidement sans oscillation persistante.
  • Q élevé (Q > 1/2) : régime pseudo-périodique, oscillations visibles avec décroissance exponentielle.

• La pulsation propre $\omega_0$ reste la fréquence naturelle du système sans amortissement, tandis que la fréquence amortie $\omega$ est légèrement inférieure en régime amorti.

• La solution de l’équation différentielle en régime pseudo-périodique s’écrit :
  $x(t) = A e^{-\frac{\omega_0}{2Q} t} \cos(\omega t + \phi)$ avec $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$.

• Le temps caractéristique d’amortissement $\tau$ est lié à Q par :
  $\tau = \frac{Q}{\omega_0}$ représentant la durée pour que l’amplitude diminue d’un facteur $e$.

• Le décrément logarithmique $\delta$ mesure la décroissance entre deux oscillations successives :
  $\delta = \frac{1}{n} \ln \frac{x(t)}{x(t + nT)}$ et est relié à Q par :
  $\delta \approx \frac{\pi}{Q}$

💡 À retenir

Les solutions d’un oscillateur amorti varient selon le facteur de qualité Q, allant d’un amortissement rapide sans oscillations à des oscillations persistantes avec décroissance lente, ce qui permet de caractériser le comportement du système et d’anticiper sa réponse dans différentes situations.

📖 10. Pendule simple oscillations

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Système dont le mouvement est décrit par une équation différentielle du type ¨x + ω₀² x = 0, caractérisé par une pulsation propre ω₀, une période T₀ et une fréquence f₀. Exemple : pendule simple pour petites amplitudes.

• Pulsation propre (ω₀) : La fréquence angulaire naturelle d’un oscillateur sans amortissement, exprimée en rad.s⁻¹, liée à la période par ω₀ = 2π/T₀.

• Énergie mécanique (Em) : Somme de l’énergie potentielle (Ep) et cinétique (Ec). Elle reste constante dans un oscillateur non amorti. Elle dépend de l’amplitude de l’oscillation.

• Équation du mouvement du pendule simple : ¨θ + (g/ℓ) sinθ = 0, où θ est l’angle, g la gravité, ℓ la longueur. Pour petits angles, sinθ ≈ θ, ce qui donne une oscillation harmonique : ¨θ + ω₀² θ = 0 avec ω₀ = √(g/ℓ).

• Amortissement : Diminution progressive de l’amplitude des oscillations due à des forces de frottement ou de résistance. Modélisé par une équation différentielle avec terme de frottement : ¨θ + (α/m) ˙θ + (g/ℓ) sinθ = 0.

• Régimes d’évolution :

  • Non amorti : oscillations libres, périodiques.
  • Amorti faible : oscillations pseudo-périodiques.
  • Amorti critique : retour à l’équilibre le plus rapide sans oscillation.
  • Amorti fort : régime apériodique, décroissance exponentielle sans oscillation.

📝 Points essentiels

• Le pendule simple modélise un oscillateur harmonique pour de petites amplitudes, avec une période indépendante de l’amplitude (approximation).

• La période T₀ du pendule est donnée par T₀ = 2π√(ℓ/g), dépendant uniquement de la longueur ℓ et de la gravité g.

• La solution générale pour de petites oscillations est x(t) = Xm cos(ω₀ t + ϕ), où Xm est l’amplitude maximale.

• L’énergie mécanique est constante dans le cas idéal (absence de frottements), répartie entre énergie potentielle et cinétique.

• En présence d’amortissement, la solution devient une oscillation décroissante, caractérisée par un facteur de qualité Q et un temps de relaxation τ.

• La force de frottement fluide introduit un terme de premier ordre dans l’équation du mouvement, modifiant la nature des oscillations selon le régime d’amortissement.

💡 À retenir

Le pendule simple, modélisé par une oscillation harmonique pour petites amplitudes, permet d’étudier la périodicité et l’énergie des oscillations, tout en étant un exemple clé pour comprendre l’impact de l’amortissement sur le mouvement oscillant.

📊 Tableaux de synthèse

Caractéristique	Oscillations libres	Oscillateur harmonique non amorti	Oscillateur amorti
Équation différentielle	$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$	$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$	$\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q} \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$
Solution générale	$x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)$	$x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)$	Solution dépendant du régime (exponentielle décroissante ou oscillations amorties)
Energie mécanique	Constante, répartie entre $E_p$ et $E_c$	Constante, proportionnelle à $X_m^2$	Diminue avec le temps si amortissement
Fréquence propre	$\omega_0 = 2\pi / T_0$	$\omega_0 = 2\pi / T_0$	$\omega_d = \omega_0 \sqrt{1 - 1/(2Q)^2}$ (pour faible amortissement)
Amplitude	Constante	Constante	Diminue exponentiellement si amortissement

⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

1. Confusion entre oscillations libres et forcées : Les oscillations libres ne nécessitent pas de force extérieure, contrairement aux oscillations forcées ou sous excitation.
2. Faux-amis : "Pulsation" ($\omega_0$) ne doit pas être confondu avec la fréquence $f_0$. La pulsation est en rad.s$^{-1}$, la fréquence en Hz.
3. Erreur sur la conservation d’énergie : En présence d’amortissement, l’énergie mécanique n’est pas constante, elle décroît.
4. Confusion entre amplitude et énergie : L’énergie mécanique est proportionnelle au carré de l’amplitude ($E_m \propto X_m^2$), pas à l’amplitude seule.
5. Erreur sur la solution de l’équation amortie : La solution n’est pas simplement une cosinus avec une amplitude décroissante, mais une combinaison exponentielle et oscillatoire.
6. Mauvaise interprétation du facteur de qualité Q : Q ne mesure pas la vitesse de l’oscillation, mais la qualité ou la persistance de l’oscillation.
7. Confusion entre période propre et période d’amortissement : La période propre $T_0$ ne change pas avec l’amortissement, seul le régime change.

✅ Checklist examen

• Vérifier la définition d’une oscillation libre et ses caractéristiques.
• Savoir écrire et résoudre l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique.
• Connaître la relation entre pulsation $\omega_0$, période $T_0$ et fréquence $f_0$.
• Expliquer pourquoi l’énergie mécanique est constante en absence d’amortissement.
• Décrire la solution générale d’un oscillateur harmonique non amorti.
• Identifier le rôle du facteur de qualité $Q$ dans l’amortissement.
• Savoir distinguer entre oscillations amorties, critiques et pseudo-périodiques.
• Connaître la formule de l’énergie potentielle et cinétique dans un oscillateur.
• Expliquer la différence entre énergie mécanique, énergie potentielle et énergie cinétique.
• Savoir calculer l’amplitude à partir des conditions initiales.
• Comprendre la relation entre amplitude et énergie mécanique.
• Vérifier la conservation de l’énergie dans un système idéal sans amortissement.