Quiz: Analyse des suites et limites — 20 domande

1. Que permet d’établir l’inégalité de Bernoulli pour $a>0$ et $n\in\mathbb N$ ?

A. Une égalité de $(1+a)^n$ avec $1+na$

B. Une minoration de $(1+a)^n$ par $1+na$

C. Une approximation de $(1+a)^n$ par $na$

D. Une majoration de $(1+a)^n$ par $1+na$

Answer: (B)

Spiegazione

L’inégalité de Bernoulli affirme que $(1+a)^n\ge 1+na$ lorsque $a>0$. Elle fournit donc une minoration linéaire, et non une majoration.

2. Quelle situation correspond à une forme indéterminée pour une limite ?

A. $\frac{1}{7}$

B. $fty-fty$

C. $3\times 4$

D. $5-2$

Answer: (B)

Spiegazione

Les formes comme $\infty-\infty$ ou $0\times\infty$ ne permettent pas de conclure directement. Les autres expressions sont des calculs ordinaires qui ne posent pas d’ambiguïté de limite.

3. Quand une suite est-elle dite bornée ?

A. Lorsqu’elle est seulement croissante

B. Lorsqu’elle admet une limite finie

C. Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

D. Lorsqu’elle est toujours positive

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite bornée est encadrée à la fois par une borne supérieure et une borne inférieure. Le fait d’admettre une limite finie peut entraîner la bornitude, mais ce n’est pas la définition.

4. Quelle est la limite d’une suite géométrique $u_n=u_0q^n$ lorsque $-1<q<1$ ?

A. Elle n’existe pas

B. 0

C. $u_0$

D. $+fty$

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une suite géométrique, si $|q|<1$, les termes $q^n$ tendent vers 0, donc $u_n$ aussi. Le cas $q>1$ conduit au contraire à une divergence vers $+fty$.

5. Quand une droite $x=a$ est-elle une asymptote verticale de la courbe d’une fonction ?

A. Quand la fonction tend vers une constante quand $x\to +\infty$

B. Quand la dérivée s’annule en $a$

C. Quand la fonction tend vers $+fty$ ou $-fty$ quand $x\to a$

D. Quand la courbe coupe l’axe des abscisses en $a$

Answer: (C)

Spiegazione

Une asymptote verticale d’équation $x=a$ apparaît lorsque la fonction diverge vers $+fty$ ou $-fty$ au voisinage de $a$. Une limite finie à l’infini correspondrait plutôt à une asymptote horizontale.

6. Que conclut-on si, au voisinage d’un point, une fonction est encadrée entre deux fonctions ayant la même limite ?

A. La fonction admet une asymptote verticale

B. La fonction est nécessairement dérivable

C. La fonction a la même limite par le théorème des gendarmes

D. La fonction est forcément continue

Answer: (C)

Spiegazione

Le théorème des gendarmes permet de déduire la limite de la fonction encadrée lorsque les deux fonctions de comparaison ont la même limite. Il ne garantit ni continuité ni dérivabilité.

7. Quelle est la croissance comparée correcte quand $x\to +\infty$ ?

A. $e^x$ domine toute puissance $x^n$

B. $e^x$ tend vers 0 plus vite que $x^n$

C. Toute puissance $x^n$ domine $e^x$

D. $e^x$ et $x^n$ ont toujours le même ordre de grandeur

Answer: (A)

Spiegazione

À l’infini, l’exponentielle croît plus vite que n’importe quelle puissance : $\frac{e^x}{x^n}\to +\infty$. C’est précisément l’idée des croissances comparées.

8. Quelle règle de dérivation s’applique à $\ln(F(x))$ ?

A. Sa dérivée vaut $\ln(F'(x))$

B. Sa dérivée vaut $\frac{F'(x)}{F(x)}$

C. Sa dérivée vaut $F'(x)\,\ln(F(x))$

D. Sa dérivée vaut $\frac{1}{F'(x)}$

Answer: (B)

Spiegazione

La dérivée du logarithme népérien composé suit la règle $\big(\ln(F(x))\big)'=\frac{F'(x)}{F(x)}$. Les autres propositions confondent la dérivation du logarithme avec celle d’autres fonctions.

9. Quelle propriété vérifient le cosinus et le sinus sur le cercle trigonométrique ?

A. Ils sont tous deux toujours positifs

B. Ils ne sont définis que pour les angles aigus

C. Ils prennent des valeurs arbitrairement grandes

D. Ils sont tous deux compris entre -1 et 1

Answer: (D)

Spiegazione

Sur le cercle trigonométrique, les coordonnées restent dans l’intervalle [-1,1], donc $\cos(x)$ et $\sin(x)$ aussi. Cela découle directement du fait qu’ils représentent des coordonnées sur le cercle unité.

10. Quelle identité traduit la parité du sinus ?

A. $\sin(x+2\pi)=-\sin(x)$

B. $\sin(x)=\cos(x)$

C. $\sin(-x)=\sin(x)$

D. $\sin(-x)=-\sin(x)$

Answer: (D)

Spiegazione

Le sinus est une fonction impaire, donc sa valeur change de signe quand on remplace $x$ par $-x$. La relation $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ exprime la périodicité, pas la parité.

11. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction en un point a ?

A. Sa dérivée seconde en a est positive

B. Sa courbe admet une tangente en a

C. Sa limite en a existe et vaut f(a)

D. Sa dérivée en a existe

Answer: (C)

Spiegazione

Une fonction est continue en a lorsque la limite en a coïncide avec la valeur de la fonction en ce point. L’existence d’une dérivée n’est pas nécessaire pour la continuité.

12. Que peut-on conclure pour une fonction convexe au sujet de sa dérivée seconde ?

A. Elle est négative ou nulle

B. Elle est toujours nulle

C. Elle n’existe pas forcément

D. Elle est positive ou nulle

Answer: (D)

Spiegazione

Une fonction convexe vérifie f''(x) ≥ 0 lorsque la dérivée seconde existe. La concavité correspond au signe opposé, f''(x) ≤ 0.

13. Que représente une primitive de la fonction h ?

A. Une fonction qui domine h

B. Une fonction dont l’intégrale est h

C. Une fonction dont la dérivée est h

D. Une fonction de même limite que h

Answer: (C)

Spiegazione

Une primitive H de h est définie par H' = h. C’est cette relation de dérivation qui caractérise les primitives.

14. Si Φ est une primitive de H sur un intervalle, que vaut l’intégrale de H entre a et b ?

A. Φ(b) - Φ(a)

B. H(b) - H(a)

C. Φ(a) - Φ(b)

D. H(a) - H(b)

Answer: (A)

Spiegazione

La valeur de l’intégrale est donnée par la différence des valeurs d’une primitive : ∫_a^b H(x) dx = Φ(b) - Φ(a). C’est le lien fondamental entre intégrale et primitive.

15. Comment compte-t-on un arrangement sans répétition de 3 éléments choisis parmi 26 ?

A. Par 26 × 25 × 24

B. Par 26^3

C. Par 3!

D. Par binom{26}{3}

Answer: (A)

Spiegazione

Un arrangement sans répétition tient compte de l’ordre et impose des choix sans remplacement, d’où 26 × 25 × 24. La combinaison ignorerait l’ordre, et 26^3 autoriserait les répétitions.

16. Que vaut le nombre de sous-ensembles d’un ensemble de n éléments ?

A. n!

B. 2^n

C. binom{n}{2}

D. n^2

Answer: (B)

Spiegazione

Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble de n éléments est 2^n. Cela correspond à la somme des coefficients binomiaux de rang 0 à n.

17. Comment calcule-t-on les coordonnées du milieu d’un segment dans l’espace ?

A. En multipliant les coordonnées des extrémités

B. En additionnant les coordonnées des extrémités

C. En prenant la moyenne des coordonnées des extrémités

D. En prenant la différence des coordonnées des extrémités

Answer: (C)

Spiegazione

Le milieu d’un segment a pour coordonnées la moyenne de celles des deux extrémités. C’est exactement la formule de milieu dans l’espace.

18. Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leurs normes sont égales

B. Lorsque leur produit scalaire vaut 0

C. Lorsque leur produit scalaire vaut 1

D. Lorsque leurs coordonnées sont opposées

Answer: (B)

Spiegazione

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Les normes égales ne suffisent pas à établir l’orthogonalité.

19. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement k succès lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p ?

A. binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

B. p^k(1-p)^{n-k}

C. binom{n}{k}(1-p)^k p^{n-k}

D. np(1-p)

Answer: (A)

Spiegazione

La loi binomiale donne P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Le facteur binomial compte le nombre de façons de placer les k succès parmi n épreuves.

20. Que décrit le principe des grands nombres dans ce cadre ?

A. La variance devient toujours nulle

B. La moyenne empirique se rapproche de l’espérance

C. Les épreuves cessent d’être indépendantes

D. Le nombre de succès vaut exactement np

Answer: (B)

Spiegazione

Le principe des grands nombres indique que la moyenne empirique se stabilise vers l’espérance quand le nombre d’épreuves augmente. Il ne dit pas que la variance est nulle ni que le total vaut exactement np.