Quiz: Analyse et résolution des équations du second degré — 22 questions

1. Dans une équation du second degré mise sous forme canonique, quelle transformation permet de résoudre facilement l’égalité f(x)=k ?

A. Factoriser en utilisant une différence de deux carrés

B. Isoler un carré puis prendre la racine carrée

C. Calculer seulement le discriminant

D. Tracer la parabole sans calcul algébrique

Answer: (B)

Explanation

La forme canonique s’écrit sous la forme a(x-α)^2+β, ce qui permet de ramener f(x)=k à une équation du type “un carré = une constante”. Le discriminant n’est pas l’outil privilégié dans cette situation.

2. Que permet de conclure le discriminant d’une équation ax^2+bx+c=0 quand il est strictement négatif ?

A. L’équation n’a aucune racine réelle

B. L’équation est équivalente à une équation du premier degré

C. L’équation admet une racine double

D. L’équation admet deux racines réelles distinctes

Answer: (A)

Explanation

Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution dans ℝ. C’est le signe de Δ qui détermine l’existence des racines réelles.

3. Pour un trinôme factorisé f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes, quel est le signe de f(x) à l’extérieur des racines ?

A. Le signe de a

B. Un signe toujours positif

C. Un signe qui dépend seulement de x1

D. Le signe opposé à celui de a

Answer: (A)

Explanation

Quand Δ≥0 et que les racines sont réelles, le trinôme prend le signe de a à l’extérieur des racines. Entre les racines, il change de signe.

4. Quelle factorisation correspond à l’expression x^2+4x-5 ?

A. (x-2)(x+3)

B. (x-1)(x+5)

C. (x+1)(x-5)

D. (x+2)(x-9)

Answer: (B)

Explanation

On peut écrire x^2+4x-5=(x+2)^2-9, puis utiliser une différence de deux carrés : (x-1)(x+5). Les autres propositions ne redonnent pas le bon trinôme.

5. Pour une parabole définie par f(x)=ax^2+bx+c, quel est l’effet du signe de a sur son orientation ?

A. a>0 : vers le bas, a<0 : vers le haut

B. a>0 : vers le haut, a<0 : vers le bas

C. Le signe de a n’influence pas l’orientation

D. L’orientation dépend uniquement de c

Answer: (B)

Explanation

Le signe de a détermine l’ouverture de la parabole : vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0. C’est essentiel pour construire le tableau de variations.

6. Que représente la substitution x↦f(x-m) sur la courbe de f ?

A. Un décalage de m unités vers la gauche

B. Une rotation autour de l’origine

C. Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

D. Un décalage de m unités vers la droite

Answer: (D)

Explanation

La transformation x↦f(x-m) translate la courbe de m unités vers la droite. Par exemple, (x-4)^2 correspond à un déplacement de 4 vers la droite.

7. Dans une liste Python L, que représente l’expression L[0] ?

A. Le deuxième élément de la liste

B. Le nombre total d’éléments

C. Le dernier élément de la liste

D. Le premier élément de la liste

Answer: (D)

Explanation

L’indexation des listes commence à 0 en Python, donc L[0] désigne le premier élément. Le nombre d’éléments se trouve avec len(L).

8. Quelle instruction supprime la première occurrence de 16 dans une liste Python L ?

A. L.remove(16)

B. L.append(16)

C. L.pop(16)

D. L[16]=None

Answer: (A)

Explanation

La méthode remove(16) supprime la première occurrence de la valeur 16. La méthode pop enlève un élément à un indice donné, pas une valeur.

9. Quelle est la négation correcte de l’implication A ⇒ B ?

A. B ⇒ A

B. ¬A ⇒ ¬B

C. A ⇒ ¬B

D. ¬B ⇒ ¬A

Answer: (D)

Explanation

La contraposée d’une implication A⇒B est ¬B⇒¬A et elle a la même valeur de vérité. Ce n’est pas simplement l’inverse B⇒A.

10. Comment s’écrit correctement la négation de la proposition “f(x)<0 ou f(x)>2” ?

A. f(x)>0 et f(x)<2

B. f(x)≤0 ou f(x)≥2

C. f(x)≥0 et f(x)≤2

D. f(x)≤0 et f(x)≥2

Answer: (C)

Explanation

La négation d’un “ou” devient un “et”, et les inégalités strictes se retournent en inégalités larges. On obtient donc f(x)≥0 et f(x)≤2.

11. Dans une expérience aléatoire, comment appelle-t-on le tableau qui associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire sa probabilité ?

A. La forme factorisée

B. La loi de probabilité

C. Le tableau de variations

D. Le produit cartésien

Answer: (B)

Explanation

La loi de probabilité est précisément le tableau qui relie chaque valeur possible de la variable aléatoire à sa probabilité. Les autres propositions renvoient à des notions de fonctions, d’algèbre ou d’ensembles.

12. Pour la somme de deux dés, quelle est la probabilité de l’événement {X = 12} ?

A. 3/36

B. 2/36

C. 1/12

D. 1/36

Answer: (D)

Explanation

La somme 12 n’apparaît que pour l’issue (6,6), parmi 36 issues équiprobables, donc la probabilité vaut 1/36. Les autres valeurs correspondent à des événements plus fréquents ou mal comptés.

13. Quelle expression donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

A. Produit des valeurs par leur rang

B. Somme des produits p_i x_i

C. Somme des écarts à la moyenne

D. Racine carrée de la variance

Answer: (B)

Explanation

L’espérance est une moyenne pondérée : on additionne chaque valeur multipliée par sa probabilité. Les autres réponses décrivent la variance, l’écart-type ou une quantité sans lien direct.

14. Dans une simulation Python, quelle fonction renvoie un entier aléatoire compris entre deux bornes entières ?

A. len(L)

B. randint(a,b)

C. append(x)

D. random()

Answer: (B)

Explanation

La fonction randint(a,b) génère un entier aléatoire entre a et b. random() renvoie un réel entre 0 et 1, tandis que len et append concernent les listes.

15. Comment s’écrit l’équation cartésienne d’une droite dans le plan ?

A. y = f'(a)(x-a) + f(a)

B. a(x-b1)^2 + b2

C. (x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = r^2

D. ax + by + c = 0

Answer: (D)

Explanation

Une droite admet une équation de la forme ax+by+c=0, avec un vecteur normal (a;b). Les autres écritures correspondent à un cercle, une tangente ou une forme canonique.

16. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle est définie seulement pour x positif

B. Elle s’annule en 0 et change de signe

C. Sa dérivée est constante égale à 1

D. Sa dérivée est elle-même et elle vaut 1 en 0

Answer: (D)

Explanation

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable qui vaut 1 en 0 et dont la dérivée est elle-même. Elle reste toujours strictement positive, contrairement à la proposition sur les changements de signe.

17. Que représente le signe de la dérivée f'(x) sur un intervalle ?

A. La position du sommet de la parabole

B. Le nombre de zéros de f

C. La valeur exacte de f(x)

D. Le sens de variation de f

Answer: (D)

Explanation

Le signe de f'(x) permet de savoir si f est croissante, décroissante ou constante sur l’intervalle. Les autres réponses concernent d’autres aspects de l’étude d’une fonction.

18. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y = f(x-a) + f(a)

B. y = f(a)x + f'(a)

C. y = f'(x)(a-x) + a

D. y = f'(a)(x-a) + f(a)

Answer: (D)

Explanation

La tangente en a a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a). Cette formule utilise à la fois la pente en a et le point de tangence (a;f(a)).

19. Dans un arbre de probabilités, comment calcule-t-on la probabilité de l’événement A ∩ B lorsqu’on suit d’abord A puis B ?

A. P(A) + P(B)

B. P(A) × P(B) seulement

C. P(A) × P_A(B)

D. P(B) / P(A)

Answer: (C)

Explanation

Sur un arbre, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long du chemin : P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Il ne faut pas confondre cela avec P(A)×P(B), qui n’est vrai que si les événements sont indépendants.

20. Quand deux événements sont-ils indépendants ?

A. Lorsque P_A(B) = P(A) + P(B)

B. Lorsque P(B) = 0

C. Lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B)

D. Lorsque P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

Answer: (C)

Explanation

Deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Les autres égalités ne caractérisent pas l’indépendance.

21. Sur le cercle trigonométrique, quelles sont les coordonnées du point associé à un angle α ?

A. (cos α, sin α)

B. (sin α, cos α)

C. (tan α, 1)

D. (1, α)

Answer: (A)

Explanation

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, le point image d’un angle α a pour coordonnées (\cos\alpha,\sin\alpha). Les autres propositions confondent les rôles des fonctions trigonométriques ou ne décrivent pas des coordonnées du cercle.

22. Quelle propriété permet de simplifier directement les valeurs de cosinus et de sinus après un tour complet ?

A. cos(x) = sin(x) pour tout x

B. cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)

C. cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = sin(x)

D. cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x)

Answer: (B)

Explanation

Le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π, donc ajouter 2π ne change pas leur valeur. Les autres propositions mélangent parité et périodicité ou énoncent une égalité fausse.