Quiz: Analyse géométrique et barycentres — 22 questions

1. Quelle condition garantit l’existence d’un barycentre de points pondérés ?

A. Les coefficients sont tous positifs

B. Les points sont tous distincts

C. Les coefficients ont tous la même valeur

D. La somme des coefficients est non nulle

Answer: (D)

Explanation

Le barycentre existe et est unique lorsque la somme des coefficients est différente de zéro. Si cette somme vaut 0, le barycentre n’existe pas.

2. Pour deux points pondérés $(A,b1)$ et $(B,b2)$ avec $b1+b2 eq 0$, quelle relation vérifie le barycentre $G$ ?

A. $a3b1b7a0=rac{b2}{b1+b2}a09192$

B. $a7a0=rac{b1}{b1+b2}a09192$

C. $a093=rac{b1+b2}{b1}a09192$

D. $a092=rac{b1+b2}{b2}a09192$

Answer: (A)

Explanation

Pour deux points pondérés, la position de $G$ est donnée par une division du segment selon le rapport des coefficients. La formule correcte est celle qui utilise $b2/(b1+b2)$.

3. Dans le cas de deux points affectés du même coefficient non nul, que représente leur isobarycentre ?

A. Le milieu du segment qui les relie

B. Le point le plus proche du premier point

C. Le centre du cercle passant par eux

D. Le barycentre n’existe pas

Answer: (A)

Explanation

Avec deux points portant le même poids non nul, l’isobarycentre est exactement le milieu du segment. C’est le cas le plus simple de l’isobarycentre.

4. Dans un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$, quelle propriété caractérise $O$ comme isobarycentre des quatre sommets ?

A. $a3a091+a3a092+a3a093+a3a094=a0$

B. $a091+a092=a093+a094$

C. $a791+a792+a793+a794=a0$

D. $a091+a092+a093+a094=a0$

Answer: (D)

Explanation

Le centre du parallélogramme est l’isobarycentre des quatre sommets, donc la somme des vecteurs issus de $O$ vers les sommets est nulle. C’est précisément la relation indiquée.

5. Que devient le barycentre si l’on multiplie tous ses coefficients par un même réel non nul ?

A. Il n’existe plus que si le réel vaut 1

B. Il se déplace vers le premier point

C. Il reste inchangé

D. Il devient le milieu du segment de départ

Answer: (C)

Explanation

C’est la propriété d’homogénéité : un facteur commun non nul appliqué à tous les poids ne change pas le barycentre. Seuls les rapports entre coefficients comptent.

6. Le point $G$ vérifie $a094=rac{3}{4}a09192$. Quel couple de coefficients convient pour écrire $G$ comme barycentre de $A$ et $B$ ?

A. $(A,1),(B,-3)$

B. $(A,4),(B,3)$

C. $(A,1),(B,3)$

D. $(A,3),(B,1)$

Answer: (D)

Explanation

Pour deux points, on a $a094=rac{b2}{b1+b2}a09192$. Avec $(A,3),(B,1)$, on obtient bien $1/(3+1)=1/4$ pour $AG$, donc $3/4$ pour $GB$ et la bonne position de $G$ sur $[AB]$.

7. Dans une somme vectorielle pondérée, que vaut $a3 b1_ia091_i$ lorsqu’on remplace les points par leur barycentre $G$ et que la somme des coefficients est non nulle ?

A. $a3 b1_ia091_i=a3 b1_ia094$

B. $a3 b1_ia091_i=a0$

C. $a3 b1_ia091_i=a3 b1_ia094G$

D. $a3 b1_ia091_i=a097$

Answer: (C)

Explanation

Si la somme des coefficients n’est pas nulle, la somme se réduit à la somme des coefficients multipliée par le vecteur a094G. C’est la formule centrale de réduction des sommes vectorielles.

8. Que se passe-t-il quand la somme des coefficients d’une somme vectorielle pondérée est nulle ?

A. L’expression ne peut plus être simplifiée

B. L’expression devient indépendante du point variable

C. L’expression définit forcément un cercle

D. L’expression vaut toujours un vecteur nul

Answer: (B)

Explanation

Quand la somme des coefficients vaut 0, la somme vectorielle ne dépend plus du point variable $M$ : elle est constante. C’est l’autre cas fondamental de réduction.

9. Comment calcule-t-on les coordonnées du barycentre $G$ de points pondérés dans un repère ?

A. On divise chaque coordonnée par le nombre de points

B. On prend les coordonnées du point le plus lourd

C. On fait la moyenne pondérée de chaque coordonnée

D. On additionne seulement les abscisses

Answer: (C)

Explanation

Les coordonnées du barycentre se calculent composante par composante par moyenne pondérée, avec la même somme des coefficients au dénominateur. La règle vaut pour $x$, $y$ et $z$.

10. Dans la formule des coordonnées du barycentre, quel dénominateur est utilisé pour $x_G$, $y_G$ et $z_G$ ?

A. Le produit des coefficients

B. Le nombre de points

C. La somme des coefficients

D. La moyenne des coordonnées

Answer: (C)

Explanation

Le même dénominateur apparaît pour chaque coordonnée : c’est la somme des coefficients. C’est ce qui garantit une cohérence entre $x_G$, $y_G$ et $z_G$.

11. Dans le calcul des coordonnées d’un barycentre, quelle formule donne l’abscisse d’un barycentre de points pondérés ?

A. La somme des abscisses divisée par le nombre de points

B. Le produit des abscisses pondérées par la somme des coefficients

C. La différence des abscisses extrêmes divisée par la somme des coefficients

D. La somme des abscisses pondérées divisée par la somme des coefficients

Answer: (D)

Explanation

L’abscisse du barycentre se calcule en faisant la somme pondérée des abscisses puis en divisant par la somme des coefficients. La même règle s’applique aux autres coordonnées.

12. Pour les points A(0,-1,2), B(8,5,-1) et C(8,-5,-2) avec G = barycentre de (A,-1), (B,1) et (C,-1), quelle est la somme des coefficients ?

A. 0

B. 1

C. -1

D. -3

Answer: (C)

Explanation

On additionne les coefficients : -1 + 1 - 1 = -1. Cette somme non nulle permet bien l’existence d’un barycentre unique.

13. Que permet de faire un barycentre partiel sans modifier le barycentre global ?

A. Remplacer un point pondéré par deux points de coefficients égaux

B. Supprimer les coefficients des points regroupés

C. Multiplier un seul coefficient par un nombre non nul

D. Remplacer plusieurs points pondérés par leur barycentre unique affecté de la somme de leurs coefficients

Answer: (D)

Explanation

Le barycentre partiel consiste à regrouper plusieurs points en un point H, auquel on attribue la somme de leurs coefficients. Le barycentre global reste alors inchangé.

14. Dans la construction où I est le barycentre de (A,-2) et (C,3), quelle propriété de I est donnée ?

A. I est confondu avec A

B. I est le milieu de [AC]

C. I appartient à la droite (AC) et vérifie AI = 3 AC

D. I appartient à la médiatrice de [AC]

Answer: (C)

Explanation

Avec deux points pondérés de coefficients -2 et 3, le barycentre est sur la droite (AC) et la relation vectorielle donnée est AI = 3AC. Ce point sert ensuite de barycentre partiel pour simplifier le calcul de G.

15. Pour une fonction du type f(M) = Σ αᵢ MAᵢ², quelle forme peut prendre une ligne de niveau lorsque la somme des coefficients est non nulle ?

A. Toujours une médiatrice

B. Toujours un segment

C. Un cercle de centre le barycentre des points pondérés, ou un point, ou l’ensemble vide

D. Toujours une droite

Answer: (C)

Explanation

Quand la somme des coefficients n’est pas nulle, la réduction conduit à une expression en MG², donc la ligne de niveau peut être un cercle, un point ou être vide. Elle n’est pas forcément une droite.

16. Dans le cas de f(M) = Σ αᵢ MAᵢ avec somme des coefficients nulle, que devient l’expression ?

A. Une fonction affine de M toujours positive

B. Une distance au carré centrée au barycentre

C. Un vecteur constant indépendant de M

D. Un cercle de centre barycentre

Answer: (C)

Explanation

Si la somme des coefficients est nulle, la somme vectorielle ne dépend plus de M : elle devient un vecteur constant. C’est précisément la situation indiquée pour les lignes de niveau de ce type.

17. Dans l’égalité MA² - 2MB² = 4, quelle forme géométrique obtient-on pour l’ensemble des points M ?

A. Un segment

B. Une médiatrice

C. Une droite

D. Un cercle

Answer: (D)

Explanation

Cette expression se réécrit sous la forme MG² = constante, ce qui décrit un cercle. Le centre est le barycentre associé aux coefficients 1 et -2.

18. Pourquoi l’égalité MA² - MB² ne conduit-elle pas à un cercle dans le cas où les coefficients associés ont une somme nulle ?

A. Parce que toute différence de carrés donne nécessairement un segment

B. Parce que les distances au carré sont alors toujours égales

C. Parce que le centre du cercle est forcément le milieu de [AB]

D. Parce que la réduction ne passe plus par un barycentre et l’ensemble peut devenir une droite

Answer: (D)

Explanation

Lorsque les coefficients se compensent, il n’y a pas de barycentre et la forme géométrique n’est plus celle d’un cercle. On peut alors obtenir une droite, selon la configuration.

19. Que représente l’ensemble des points M tels que Mes(MA,MB) = 0 lorsque A et B sont distincts ?

A. Le segment [AB] entier

B. Un arc de cercle passant par A et B

C. La médiatrice de [AB]

D. La droite (AB) privée du segment [AB]

Answer: (D)

Explanation

Quand l’angle orienté entre MA et MB vaut 0, les trois points M, A et B sont alignés, mais M ne peut pas appartenir au segment [AB]. L’ensemble est donc la droite (AB) sans le segment [AB].

20. Pour A ≠ B et une valeur α dans ]-π,0[ ∪ ]0,π[, quelle est la nature de l’ensemble des points M vérifiant Mes(MA,MB) = α ?

A. La droite (AB) entière

B. Un arc d’un cercle passant par A et B

C. La médiatrice de [AB]

D. Le segment [AB] sans ses extrémités

Answer: (B)

Explanation

Pour une mesure angulaire non nulle différente de π, l’ensemble est un arc de cercle passant par A et B. Son centre appartient à la médiatrice de [AB], avec la relation d’angle 2α au centre.

21. Pour deux points distincts A et B, quel est l’ensemble des points M tels que Mes(→MA,→MB)=0 ?

A. Un arc de cercle passant par A et B

B. La droite (AB) privée du segment [AB]

C. La médiatrice de [AB]

D. Le segment [AB] privé des points A et B

Answer: (B)

Explanation

Si l’angle orienté entre →MA et →MB est nul, les points A, M et B sont alignés avec M à l’extérieur du segment [AB]. Le segment privé de A et B correspond au cas Mes(→MA,→MB)=π.

22. Pour deux points distincts A et B et une valeur α comprise entre −π et 0 ou entre 0 et π, quelle est la nature de l’ensemble des points M tels que Mes(→MA,→MB)=α ?

A. Une droite parallèle à (AB)

B. Le segment [AB] privé des extrémités

C. La médiatrice de [AB]

D. Un arc d’un cercle passant par A et B

Answer: (D)

Explanation

Pour une valeur angulaire non nulle et différente de π, le lieu est un arc de cercle passant par A et B, dont le centre appartient à la médiatrice de [AB]. On choisit un point O tel que Mes(→OA,→OB)=2α.