Quiz: Applications linéaires et matrices — 21 questions

1. Laquelle des propriétés caractérise une application linéaire f:E→F ?

A. Elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) uniquement lorsque α=1

B. Elle vérifie f(αx+βy)=f(x)+f(y) quels que soient α et β

C. Elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et f(αx)=αf(x)

D. Elle vérifie f(x+y)=f(x)f(y) et f(αx)=f(x)+α

Answer: (C)

Explanation

Une application linéaire conserve l’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire. Ces deux propriétés définissent la linéarité.

2. Pour quels scalaires α, β et vecteurs x, y la relation suivante caractérise-t-elle la linéarité : f(αx+βy)=… ?

A. f(αx)+f(βy)+f(x+y)

B. αβf(x+y)

C. αf(x)+βf(y)

D. f(x)+f(y)+αβ

Answer: (C)

Explanation

Une application est linéaire si et seulement si f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) pour tous α, β, x et y.

3. Dans quel espace vectoriel l’image Im(f) d’une application f:E→F se trouve-t-elle ?

A. Dans le noyau de f, car elle regroupe les vecteurs annulés

B. Dans E×F, car elle associe chaque vecteur à son image

C. Dans F, car elle contient les vecteurs obtenus comme f(x)

D. Dans E, car elle contient les antécédents des vecteurs nuls

Answer: (C)

Explanation

L’image est l’ensemble des vecteurs f(x) obtenus lorsque x parcourt E ; elle constitue donc un sous-ensemble de F. Le noyau, lui, est un sous-ensemble de E.

4. Si f:E→F est linéaire et G est un sous-espace vectoriel de E, où se trouve f(G) ?

A. Dans F, mais f(G) n’est pas nécessairement stable par addition

B. Dans E, et f(G) est un sous-espace vectoriel de E

C. Dans F, et f(G) est un sous-espace vectoriel de F

D. Dans Ker(f), quelle que soit la nature de G

Answer: (C)

Explanation

L’image d’un sous-espace par une application linéaire est un sous-espace de l’espace d’arrivée F. Elle reste donc dans F et possède les propriétés de stabilité correspondantes.

5. Quel ensemble décrit le noyau d’une application linéaire f:E→F ?

A. Les vecteurs y de F tels que f(y)=0_E

B. Les vecteurs f(x) de F obtenus pour tout x de E

C. Les vecteurs x de E tels que f(x)=x

D. Les vecteurs x de E tels que f(x)=0_F

Answer: (D)

Explanation

Le noyau est Ker(f)={x∈E∣f(x)=0_F}. Il rassemble donc les vecteurs du domaine envoyés sur le vecteur nul de l’espace d’arrivée.

6. Une application linéaire f est-elle injective lorsque son noyau vérifie quelle condition ?

A. Ker(f)=E

B. Ker(f)={0_E}

C. Ker(f)=Im(f)

D. Ker(f)=F

Answer: (B)

Explanation

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau se réduit au vecteur nul de E. Un noyau contenant un vecteur non nul signale que deux vecteurs distincts peuvent avoir la même image.

7. Que représente L(E,F) ?

A. Le noyau commun de toutes les applications de E dans F

B. L’ensemble des applications de F dans E uniquement

C. Le sous-espace des applications linéaires de E dans F

D. L’ensemble des vecteurs nuls de E et de F

Answer: (C)

Explanation

L(E,F) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F. Cet ensemble forme un sous-espace vectoriel de l’espace de toutes les applications de E dans F.

8. Si f:E→F et g:F→G sont linéaires, quelle propriété possède g∘f ?

A. C’est une application linéaire de E dans G

B. C’est une application linéaire seulement lorsque f est injective

C. C’est une application non linéaire de E dans G

D. C’est une application de G dans E nécessairement linéaire

Answer: (A)

Explanation

La composée de deux applications linéaires est linéaire. Ici, f envoie E vers F puis g envoie F vers G, donc g∘f est linéaire de E dans G.

9. Si (e₁,…,eₙ) est une famille génératrice de E et f:E→F est linéaire, que peut-on affirmer de (f(e₁),…,f(eₙ)) ?

A. Cette famille est nécessairement une base de F

B. Cette famille engendre nécessairement E

C. Cette famille engendre Im(f)

D. Cette famille appartient nécessairement à Ker(f)

Answer: (C)

Explanation

Tout élément de Im(f) s’écrit comme l’image d’une combinaison linéaire des eᵢ ; par linéarité, il est donc combinaison linéaire des f(eᵢ). La famille image engendre ainsi Im(f).

10. Quelle condition caractérise un isomorphisme d’un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F ?

A. C’est une application linéaire injective, sans condition de surjectivité

B. C’est une application linéaire de E dans lui-même

C. C’est une application bijective, sans condition de linéarité

D. C’est une application linéaire bijective de E dans F

Answer: (D)

Explanation

Un isomorphisme est, par définition, une application à la fois linéaire et bijective. Une application linéaire de E dans E est plus précisément un endomorphisme, qui n’est pas nécessairement bijectif.

11. Si f:E→F est une application linéaire bijective, quelle propriété possède nécessairement sa réciproque f⁻¹ ?

A. Elle est constante sur F

B. Elle est seulement injective de F vers E

C. Elle est linéaire de F vers E

D. Elle est seulement surjective de E vers F

Answer: (C)

Explanation

La réciproque d’une application linéaire bijective est elle-même linéaire, et elle va de F vers E.

12. Deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont-ils isomorphes lorsque leurs dimensions sont égales ?

A. Oui, dès qu’ils contiennent le même nombre de vecteurs

B. Oui, si et seulement si leurs dimensions sont égales

C. Non, car un isomorphisme exige que les espaces soient égaux

D. Non, sauf si leurs bases sont constituées des mêmes vecteurs

Answer: (B)

Explanation

En dimension finie, deux espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement si leurs dimensions sont égales. Il n’est pas nécessaire qu’ils soient constitués des mêmes éléments.

13. Soit u:E→F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie. Si u est injective, que peut-on en déduire ?

A. u est surjective et donc bijective

B. u est nécessairement constante

C. u n’est pas nécessairement surjective

D. u est un automorphisme de E

Answer: (A)

Explanation

Entre deux espaces de même dimension finie, l’injectivité et la surjectivité sont équivalentes pour une application linéaire. Ainsi, u est aussi surjective et bijective.

14. Étant donné une base (e₁,…,eₙ) de E et une famille (f₁,…,fₙ) de F, combien d’applications linéaires f:E→F vérifient f(eᵢ)=fᵢ pour tout i ?

A. Une infinité d’applications linéaires

B. Une unique application linéaire

C. Aucune, car les images doivent former une base de F

D. Une application uniquement si F et E ont la même dimension

Answer: (B)

Explanation

Les images des vecteurs d’une base déterminent de manière unique une application linéaire. La famille des images n’a pas besoin d’être une base de F pour que cette application existe.

15. Pour l’application linéaire déterminée par f(eᵢ)=fᵢ, quelle condition sur la famille (f₁,…,fₙ) garantit l’injectivité de f ?

A. La famille est libre

B. La famille engendre F

C. La famille est une base de E

D. La famille contient le vecteur nul

Answer: (A)

Explanation

L’application est injective si et seulement si la famille de ses images est libre. La génération de F caractérise plutôt la surjectivité.

16. Comment construit-on la matrice M_{B,C}(u) d’une application linéaire u:E→F dans les bases B=(e₁,…,eₚ) et C ?

A. On place les coordonnées de u(cⱼ) dans B comme jᵉ colonne

B. On place les coordonnées de eⱼ dans C comme jᵉ ligne

C. On place les images des vecteurs de B uniquement sur la diagonale

D. On place les coordonnées de u(eⱼ) dans C comme jᵉ colonne

Answer: (D)

Explanation

La jᵉ colonne de M_{B,C}(u) est formée des coordonnées de u(eⱼ) dans la base C.

17. Si dim(E)=p et dim(F)=n, dans quel espace matriciel la matrice de u:E→F se trouve-t-elle ?

A. M_{p,n}(K)

B. M_{n,n}(K)

C. M_{p,p}(K)

D. M_{n,p}(K)

Answer: (D)

Explanation

Une matrice représentant une application de E vers F possède n lignes, liées aux coordonnées dans F, et p colonnes, liées aux vecteurs de la base de E. Elle appartient donc à M_{n,p}(K).

18. Pour u:E→F et v:F→G, comment s’écrit la matrice de la composée v∘u dans les bases appropriées ?

A. M_{B₁,B₃}(v∘u)=M_{B₂,B₃}(u)M_{B₁,B₂}(v)

B. M_{B₁,B₃}(v∘u)=M_{B₂,B₃}(v)M_{B₁,B₂}(u)

C. M_{B₁,B₃}(v∘u)=M_{B₁,B₂}(v)M_{B₂,B₃}(u)

D. M_{B₁,B₃}(v∘u)=M_{B₁,B₂}(u)M_{B₂,B₃}(v)

Answer: (B)

Explanation

La matrice de la composée s’obtient en multipliant dans l’ordre des applications : la matrice de v à gauche de celle de u.

19. Que contient la jᵉ colonne de la matrice de passage P_{B,B’} entre deux bases B et B’ ?

A. Les coordonnées du jᵉ vecteur de B dans lui-même

B. Les coordonnées dans B du jᵉ vecteur de B’

C. Les coordonnées dans B’ du jᵉ vecteur de B

D. Les coordonnées de l’origine dans les deux bases

Answer: (B)

Explanation

P_{B,B’} est formée des coordonnées, dans B, des vecteurs de B’. Elle permet donc de convertir les coordonnées dans B’ en coordonnées dans B.

20. Quelle relation vérifient les matrices de passage entre deux bases B et B’ ?

A. (P_{B,B’})⁻¹=0

B. (P_{B,B’})⁻¹=P_{B,B’}

C. (P_{B,B’})⁻¹=P_{B’,B}

D. (P_{B,B’})⁻¹=P_{B,B}

Answer: (C)

Explanation

Les matrices de passage dans les deux sens sont réciproques : l’inverse de P_{B,B’} est P_{B’,B}.

21. Si X et X’ sont les coordonnées d’un même vecteur dans B et B’, et si P=P_{B,B’}, quelle formule permet de calculer X’ à partir de X ?

A. X’=P⁻¹X

B. X’=XP⁻¹

C. X’=PX

D. X’=P+X

Answer: (A)

Explanation

La relation de changement de coordonnées est X=PX’. En multipliant par P⁻¹, on obtient X’=P⁻¹X.