Quiz: Comportement global des suites — 9 questions

1. Quelle définition correspond à une suite numérique en mathématiques ?

A. Une suite numérique est un produit infini de nombres réels, où u_n désigne le facteur au rang n.

B. Une suite numérique est une fonction de n à valeurs dans les nombres réels, et u_n désigne l’image de n.

C. Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels indexés par des entiers naturels, et u_n désigne le terme de rang n.

D. Une suite numérique est un ensemble de nombres réels non ordonné, et u_n désigne le nombre réel associé à l’entier n.

Answer: (C)

Explanation

Une suite numérique est définie comme une liste ordonnée de réels indexée par des entiers naturels, avec u_n pour le terme de rang n.

2. Si une formule donne directement u_n en fonction de n, de quel type de définition s’agit-il ?

A. Définition explicite

B. Définition implicite

C. Définition par limites

D. Définition par récurrence

Answer: (A)

Explanation

Une définition explicite exprime directement u_n en fonction de n, contrairement à une définition par récurrence.

3. Pour la suite définie par u_n=2n+1 pour n≥0, quelle est la valeur du cinquième terme lorsque le rang 0 correspond au premier terme ?

A. 9

B. 11

C. 7

D. 5

Answer: (A)

Explanation

Le cinquième terme correspond à u_4, donc u_4=2×4+1=9 (avec le rang 0 comme premier terme).

4. Quel critère caractérise une suite arithmétique ?

A. Il existe un réel R tel qu'u_{n+1}=u_n×R, et R est la raison.

B. Il existe un réel R tel qu'u_{n+1}=u_n+R, et R est la raison.

C. Il existe un réel R tel qu'u_{n+1}=u_n−R, et R est la raison.

D. Il existe un réel R tel qu'u_n=R×n, et R est la raison.

Answer: (B)

Explanation

Une suite arithmétique vérifie u_{n+1}=u_n+R où R est la raison.

5. Dans une suite arithmétique, quelle relation relie u_n à u_p ?

A. u_n=u_p+q^{n-p}

B. u_n=u_p×(n-p)R

C. u_n=u_p+(n-p)R

D. u_n=u_p×R^{n-p}

Answer: (C)

Explanation

Dans une suite arithmétique, on a la relation u_n=u_p+(n-p)R.

6. Pour une suite arithmétique, quelle est la formule de la somme S des termes de u_p à u_n ?

A. S=(u_p+u_n)·(n-p)/2

B. S=(n-p+1)(u_p-u_n)/2

C. S=(n-p+1)(u_p+u_n)/2

D. S=(u_p+u_n)/(n-p+1)

Answer: (C)

Explanation

La somme d’une suite arithmétique de u_p à u_n vaut S=(n-p+1)(u_p+u_n)/2.

7. Quel critère caractérise une suite géométrique ?

A. Il existe un réel q tel qu'u_{n+1}=u_n−q, avec u_n≠0 et q≠1 selon les conditions du cours.

B. Il existe un réel q tel qu'u_{n+1}=u_n×q, avec u_n≠0 et q≠1 selon les conditions du cours.

C. Il existe un réel q tel qu'u_{n+1}=u_n+q, avec u_n≠0 et q≠1 selon les conditions du cours.

D. Il existe un réel q tel qu'u_{n+1}=u_n/q, avec u_n≠0 et q≠1 selon les conditions du cours.

Answer: (B)

Explanation

Une suite géométrique vérifie u_{n+1}=u_n×q : on multiplie par une raison q (et les conditions sur q et u_n sont celles indiquées).

8. Pour démontrer une propriété vraie pour tout entier n≥p par récurrence, quelle étape doit être vérifiée en premier ?

A. L’hérédité seule

B. La conclusion sans vérifier de rang

C. L’initialisation au rang p

D. La vérification seulement au rang n+1

Answer: (C)

Explanation

En récurrence, il faut d’abord vérifier l’initialisation au rang p, puis prouver l’hérédité avant de conclure pour tout n≥p.

9. La somme 1+2+⋯+n vaut alors quel résultat pour n≥1 lorsqu’elle est démontrée par récurrence ?

A. n(n+1)/2

B. n(n-1)/2

C. (n+1)/2

D. n^2/2

Answer: (A)

Explanation

La démonstration par récurrence donne que 1+2+⋯+n=n(n+1)/2 pour tout n≥1.