Flashcards: Construction rigoureuse de l'ensemble des entiers naturels — 18 cards

Ensemble des entiers naturels — définition ?

Plus petit ensemble contenant 0 et fermé par successeur.

0 — construction ensembliste ?

∅, l’ensemble vide.

1 — construction ensembliste ?

∅ ∪ {∅}.

2 — représentation ensembliste ?

{0, 1}.

N — propriété ?

Plus petit ensemble contenant tous les entiers construits.

Axiomes de Peano — rôle ?

Caractériser les entiers par 0 et successeur.

Successeur s — rôle ?

Associer à chaque entier son suivant.

Modèle de N — propriété ?

Vérifie tous les axiomes de Peano.

Injectivité de s — propriété ?

Deux entiers différents ont des successeurs différents.

Clôture par successeur — définition ?

Sous-ensemble contenant 0 et fermé par s égal à N.

Définition suite par récurrence — principe ?

Définie par u_{n+1} = f(u_n) avec initiale.

Unicité suite récurrente — propriété ?

Une seule suite vérifie la règle et initiale.

Addition sur N — définition ?

Suit une récurrence basée sur la suite.

Multiplication sur N — définition ?

Définie par récurrence à partir de l’addition.

Ordre sur N — relation ?

n ≤ m s’il existe p avec m = n + p.

Propriétés de l’ordre — sur N ?

Total, bon ordre, pas de plus grand, suite décroissante finie.

Axiomes ordre — rôle ?

Caractériser l’ordre comme bien ordonné avec successeur.

Récurrence simple — principe ?

H(n0) et H(n) ⇒ H(n+1) pour n ≥ n0.