Scheda di revisione: Cours de Trigonométrie, Nombres et Géométrie

📋 Plan du Cours

1. Trigonométrie et cercle unité
2. Arithmétique et nombres premiers
3. Calcul littéral et identités remarquables
4. Équations du premier et second degré
5. Proportionnalité, statistiques et probabilités
6. Théorèmes de géométrie et aires
7. Fonctions linéaires et affines

📖 1. Trigonométrie et cercle unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle unité où à un angle on associe un point dont les coordonnées donnent les valeurs trigonométriques.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables regroupent les cosinus et sinus de certains angles courants comme 0°, 30°, 45°, 60°, 90° et leurs formes en radians.
• Identité Pythagoricienne trigonométrique : L’identité Pythagoricienne trigonométrique relie le sinus et le cosinus via une relation égale à 1.

📝 Points essentiels

• Le point associé à un angle $\alpha$ sur le cercle unité est $M(\cos\alpha;\sin\alpha)$, donc $\cos\alpha$ est l’abscisse et $\sin\alpha$ l’ordonnée.
• Pour $\alpha\in\{0°,30°,45°,60°,90°\}$, on a $\cos\alpha\in\{1,\sqrt3/2,\sqrt2/2,1/2,0\}$ et $\sin\alpha\in\{0,1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2,1\}$.
• Si $\cos\alpha\neq 0$, alors $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, et si $\sin\alpha\neq 0$ alors $\cotan\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
• On a toujours $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ et donc $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ et $1+\cotan^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$.
• $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ et $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ reflètent respectivement le caractère pair du cosinus et impair du sinus.

💡 Astuce mémo

Cercle unité : abscisse=cos, ordonnée=sin, puis Pythagore : sin²+cos²=1.

📖 2. Arithmétique et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne exprime tout entier $a$ par $b\neq0$ sous la forme $a=b\times q+r$ avec un reste borné.
• PGCD : Le PGCD est le plus grand entier qui divise deux entiers, obtenu ici via la décomposition en facteurs premiers.
• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Pour $a$ et $b\neq0$, il existe un unique couple $(q,r)$ tel que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<|b|$.
• Le PGCD se déduit des facteurs premiers : par exemple $18=2\times3^2$ et $24=2^3\times3$, donc $\text{PGCD}(18,24)=2\times3=6$.
• Pour simplifier une fraction, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD, par exemple $18/24=3/4$.
• Les nombres premiers donnés incluent $2,3,5,7,11,13,17$ et on rappelle que $0$ et $1$ ne sont pas premiers.

💡 Astuce mémo

PGCD pour simplifier : même diviseur maximal pour réduire numérateur et dénominateur.

📖 3. Calcul littéral et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Développer consiste à transformer un produit avec parenthèses en somme de termes sans parenthèses.
• Factoriser : Factoriser consiste à regrouper des termes pour les écrire sous forme de produit avec un facteur commun.
• Identités remarquables : Les identités remarquables donnent des formules de développement ou de factorisation pour des expressions du type $(a\pm b)^2$ et $(a+b)(a-b)$.
• Carré d’une somme : Le carré d’une somme fournit directement l’expression développée de $(a+b)^2$.

📝 Points essentiels

• Développement de produit : $a(b+c)=ab+ac$, ce qui permet de retirer les parenthèses.
• Factorisation : $ab+ac=a(b+c)$, ce qui regroupe des termes ayant le facteur $a$.
• Identités : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, et $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
• Identités : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, utile pour reconnaître une différence de carrés.
• Exemple de développement : $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ et $(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$.

💡 Astuce mémo

Carrés : $(a+b)^2$ ajoute $2ab$, $(a-b)^2$ enlève $2ab$, et le produit $(a-b)(a+b)$ fait disparaître le terme $2ab$.

📖 4. Équations du premier et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Une équation produit nul affirme que si un produit vaut 0, alors au moins un des facteurs vaut 0.
• Équation du second degré : Une équation du second degré se présente sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$ et s’étudie via son discriminant.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ détermine le nombre de solutions réelles d’une équation du second degré.

📝 Points essentiels

• Si $A\times B=0$ alors $A=0$ ou $B=0$, ce qui permet de résoudre en séparant les facteurs.
• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$, $\Delta=b^2-4ac$ fixe le nombre de solutions : $\Delta>0$ donne 2 solutions, $\Delta=0$ une solution double, et $\Delta<0$ aucune solution réelle.
• Si $\Delta>0$, alors $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors $x=\dfrac{-b}{2a}$.
• Méthodes indiquées : développer et réduire, factoriser, utiliser le discriminant, ou compléter le carré.

💡 Astuce mémo

Produit nul : zéro-colle sur un facteur, et second degré : $\Delta$ décide “2 / 1 / 0” solutions réelles.

📖 5. Proportionnalité, statistiques et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de proportionnalité : Un tableau de proportionnalité organise deux séries de valeurs liées par un même coefficient multiplicateur.
• Produit en croix : Le produit en croix transforme une égalité de fractions $a/b=c/d$ en une équation sans fraction.
• Moyenne : La moyenne d’un ensemble de valeurs est la somme des valeurs divisée par l’effectif total.
• Probabilité : La probabilité mesure la proportion attendue de cas favorables parmi tous les cas possibles.

📝 Points essentiels

• Pour une proportionnalité, si on passe de la ligne 1 à la ligne 2 en multipliant par un coefficient, alors chaque valeur suit le même multiplicateur.
• Si $a/b=c/d$ alors $a\times d=b\times c$, ce qui permet de résoudre des égalités de fractions.
• Moyenne : somme des valeurs divisée par l’effectif total, médiane : valeur du milieu après rangement, étendue : valeur max moins valeur min.
• Probabilité : $\text{Probabilité}=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$, et elle est comprise entre 0 et 1.
• Exemple : pour Pile ou Face, il y a 2 issues et 1 favorable, donc $P=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.
• Exemple (données 3 ; 7 ; 7 ; 10 ; 12) : moyenne $7{,}8$, médiane $7$, étendue $9$.

💡 Astuce mémo

Fractions → produit en croix ; stats : milieu (médiane) et largeur (étendue) ; hasard : favorable sur total.

📖 6. Théorèmes de géométrie et aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle via une relation en carrés.
• Théorème de Thalès : Le théorème de Thalès donne l’égalité de rapports de longueurs dans une configuration avec droites parallèles.
• Aire d’un triangle : L’aire d’un triangle s’obtient avec le produit de la base par la hauteur divisé par 2.
• Aire d’un cercle : L’aire d’un cercle se calcule à partir du rayon grâce à une formule contenant $\pi$.

📝 Points essentiels

• Pythagore dans un triangle rectangle : $a^2+b^2=c^2$, où $c$ est l’hypoténuse.
• Thalès : si $(AB)\parallel(A'B')$, alors $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$ pour calculer des longueurs.
• Aires : carré $c^2$, rectangle $L\times l$, triangle $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$, cercle $\pi r^2$.
• Volumes : cube $c^3$, pavé droit $L\times l\times h$, cylindre $\pi r^2 h$, avec $\pi\approx3{,}14$.

💡 Astuce mémo

Pythagore : carrés et hypotenuse ; Thalès : rapports égaux ; aires : base×hauteur sur 2 pour le triangle.

📖 7. Fonctions linéaires et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire s’écrit $f(x)=ax$ et sa représentation passe par l’origine.
• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$ et sa représentation est une droite qui n’est pas forcément au passage par l’origine.
• Antécédent : Un antécédent de $y$ est une valeur de $x$ telle que $f(x)=y$.

📝 Points essentiels

• Fonction linéaire : $f(x)=ax$, la courbe est une droite passant par l’origine.
• Fonction affine : $f(x)=ax+b$, la courbe est une droite qui ne passe pas forcément par l’origine.
• Sur un graphique, lire un nombre revient à relever la valeur de $f(x)$ à l’abscisse donnée.
• Pour trouver un antécédent, on cherche $x$ tel que $f(x)=\text{valeur voulue}$.
• Résoudre graphiquement une équation $f(x)=...$ revient à lire l’abscisse du point d’intersection.

💡 Astuce mémo

Linéaire : $+0$ terme constant, affine : $+b$ décale la droite.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions

Valeur de $\Delta$	Nombre de solutions	Solutions réelles
$\Delta>0$	2	$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$	1 solution double	$x=\dfrac{-b}{2a}$
$\Delta<0$	0	Aucune solution réelle (noté $\varnothing$)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre cosinus et sinus sur le cercle unité : l’un est l’abscisse, l’autre l’ordonnée de $M(\cos\alpha;\sin\alpha)$.
2. Utiliser $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ quand $\cos\alpha=0$, ce qui rend l’expression non définie dans le cours.
3. Développer sans respecter les identités : remplacer $(a-b)^2$ par $a^2+2ab+b^2$ au lieu de $a^2-2ab+b^2$.
4. Oublier que Pythagore s’applique à un triangle rectangle uniquement.
5. Confondre aire et périmètre (par exemple utiliser une formule d’aire comme si c’était un tour de figure) et oublier le calcul au bon endroit.
6. Mêler les unités pour les conversions et les grandeurs (exemples cités : km → m, L → mL) quand l’exercice en demande.
7. Ne pas vérifier les signes dans les calculs algébriques, ce qui conduit à des erreurs de solutions ou de développements.

✅ Checklist Examen

1. Savoir placer le point $M(\cos\alpha;\sin\alpha)$ et associer abscisse à cosinus et ordonnée à sinus.
2. Connaître les valeurs remarquables de $\sin$ et $\cos$ pour $0°,30°,45°,60°,90°$ (et leurs formes en radians).
3. Appliquer correctement $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ et en déduire les relations avec $\tan$ et $\cotan$.
4. Résoudre une division euclidienne sous la forme $a=bq+r$ en vérifiant $0\le r<|b|$.
5. Calculer un PGCD à partir de la décomposition en facteurs premiers et simplifier une fraction via ce PGCD.
6. Utiliser les identités remarquables $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ pour développer ou factoriser.
7. Résoudre une équation produit nul $A\times B=0$ en traitant séparément $A=0$ et $B=0$.
8. Résoudre une équation du second degré avec discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et donner les expressions des solutions selon le signe de $\Delta$.
9. Choisir la bonne méthode de résolution (développer-réduire, factoriser, discriminant, ou compléter le carré) selon la forme de l’équation.
10. Résoudre une proportionnalité par coefficient multiplicateur ou par produit en croix $a/b=c/d\Rightarrow a d=b c$.
11. Calculer une moyenne, une médiane et une étendue, puis interpréter les résultats à partir des données rangées.
12. Calculer une probabilité avec $\text{cas favorables}/\text{cas possibles}$ et vérifier qu’elle est entre 0 et 1.
13. Appliquer Pythagore $a^2+b^2=c^2$ uniquement en triangle rectangle et utiliser Thalès pour des rapports de longueurs.
14. Mémoriser les formules d’aires et de volumes données et utiliser $\pi\approx3{,}14$.