Quiz: Cours fondamentaux en mathématiques et probabilités — 22 questions

1. Que représente la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

A. La probabilité de A calculée en supposant B réalisé

B. La probabilité que A ou B se réalise

C. La probabilité que A et B soient incompatibles

D. La probabilité de B calculée en supposant A réalisé

Answer: (D)

Explanation

La probabilité conditionnelle de B sachant A se calcule dans un cadre restreint où l’on suppose A réalisé. Ce n’est pas la même chose que la probabilité de A sachant B.

2. Si P(A)>0, quelle formule donne la probabilité de B sachant A ?

A. P(A ∩ B) / P(A)

B. P(B) / P(A)

C. P(A) / P(A ∩ B)

D. P(A ∪ B) / P(A)

Answer: (A)

Explanation

On divise la probabilité de l’intersection par la probabilité de l’événement conditionnant A. Cette formule exprime bien le filtrage de l’univers par A.

3. Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leur produit scalaire est nul

B. Lorsque leur produit scalaire est positif

C. Lorsque leurs normes sont égales

D. Lorsque leur angle est aigu

Answer: (A)

Explanation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. Cela correspond à un angle droit entre eux.

4. Dans un repère orthonormé, si u=(x1,y1) et v=(x2,y2), quelle expression donne leur produit scalaire ?

A. x1 + x2 + y1 + y2

B. x1y2 - x2y1

C. x1x2 + y1y2

D. √(x1x2 + y1y2)

Answer: (C)

Explanation

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes. C’est donc x1x2 + y1y2.

5. Que désigne l’image de a par une fonction f ?

A. L’ensemble des x du domaine

B. La valeur f(a)

C. Une valeur x telle que f(x)=a

D. Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées

Answer: (B)

Explanation

L’image de a est la valeur obtenue en appliquant la fonction à a, donc f(a). Les antécédents sont au contraire les x tels que f(x)=b.

6. Que permet de lire graphiquement l’équation f(x)=b ?

A. Le domaine de définition de la fonction

B. Le sommet de la courbe

C. L’ordonnée à l’origine de la courbe

D. Les abscisses des points d’intersection avec la droite y=b

Answer: (D)

Explanation

Résoudre graphiquement f(x)=b revient à chercher les points où la courbe coupe la droite horizontale y=b. Les abscisses de ces points sont les antécédents de b.

7. Quel est le nombre de racines réelles d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est strictement négatif ?

A. Une racine réelle double

B. Une infinité de racines réelles

C. Deux racines réelles distinctes

D. Aucune racine réelle

Answer: (D)

Explanation

Si Δ<0, le trinôme n’admet aucune solution réelle. Le discriminant permet précisément de déterminer le nombre de racines réelles.

8. Dans l’expression canonique f(x)=a(x-α)²+β, que représente α ?

A. Le discriminant

B. L’abscisse du sommet

C. L’ordonnée du sommet

D. Le coefficient constant du polynôme

Answer: (B)

Explanation

Dans la forme canonique, α est l’abscisse du sommet de la parabole. L’ordonnée du sommet est β.

9. Que signifie l’indépendance de deux événements A et B ?

A. P(A)=P(B)

B. P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

C. P(A ∩ B)=0

D. P(A ∩ B)=P(A)P(B)

Answer: (D)

Explanation

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Cela ne signifie pas qu’ils sont incompatibles.

10. Si deux événements A et B sont incompatibles, quelle formule simplifiée s’applique à P(A ∪ B) ?

A. P(A)-P(B)

B. P(A)P(B)

C. P(A∩B)

D. P(A)+P(B)

Answer: (D)

Explanation

Quand A et B sont incompatibles, leur intersection est vide, donc la probabilité de leur réunion est la somme des probabilités. La formule générale se simplifie alors.

11. Dans une expérience aléatoire, quelle expression donne la probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé, lorsque P(A)>0 ?

A. P(A ∪ B) / P(A)

B. P(A ∩ B) / P(A)

C. P(A) / P(A ∩ B)

D. P(B) / P(A)

Answer: (B)

Explanation

La probabilité conditionnelle de B sachant A se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de A. Cela traduit le fait que l’univers est restreint à A.

12. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, quelle est son espérance ?

A. np(1-p)

B. p(1-p)

C. n(1-p)

D. np

Answer: (D)

Explanation

Pour une loi binomiale B(n;p), l’espérance vaut E(X)=np. La quantité np(1-p) correspond à la variance, pas à l’espérance.

13. Que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement positive sur un intervalle ?

A. La fonction y est constante sur cet intervalle

B. La fonction y est décroissante sur cet intervalle

C. La fonction y est croissante sur cet intervalle

D. La fonction y admet forcément un maximum

Answer: (C)

Explanation

Un signe positif de la dérivée indique que la fonction est croissante. Un signe négatif correspondrait au contraire à une décroissance.

14. Dans la méthode d’étude des variations, quelle est la première étape après avoir calculé la dérivée ?

A. Calculer les intersections avec l’axe des ordonnées

B. Tracer directement le tableau de variation

C. Résoudre f'(x)=0

D. Déterminer l’image de 0

Answer: (C)

Explanation

Après le calcul de f'(x), on cherche d’abord les points où f'(x)=0 afin d’identifier les points critiques. On peut ensuite étudier le signe de f' pour construire le tableau de variation.

15. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison q ?

A. u_n=u_0+q^n

B. u_n=u_0+nr

C. u_(n+1)=q u_n

D. u_(n+1)=u_n+r

Answer: (C)

Explanation

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par une constante q. La relation u_(n+1)=u_n+r décrit, elle, une suite arithmétique.

16. Quelle propriété trigonométrique est correcte pour tout réel x ?

A. cos(-x)=cos(x)

B. sin(x+2π)= -sin(x)

C. cos(x+2π)= -cos(x)

D. sin(-x)=sin(x)

Answer: (A)

Explanation

Le cosinus est une fonction paire, donc cos(-x)=cos(x). À l’inverse, le sinus est impair, ce qui donne sin(-x)=-sin(x).

17. Quelle égalité est toujours vraie pour la fonction exponentielle ?

A. e^(x+y)=e^x e^y

B. e^(-x)= -e^x

C. e^0=0

D. e^(x+y)=e^x+e^y

Answer: (A)

Explanation

Les exponentielles respectent la règle e^(x+y)=e^x e^y. On a aussi e^0=1 et non 0.

18. Si f(x)=e^(ax+b), quelle est sa dérivée ?

A. e^(ax+b)

B. e^(a+b)x

C. (ax+b)e^(ax+b)

D. a e^(ax+b)

Answer: (D)

Explanation

La dérivée de e^(ax+b) est obtenue par la règle de dérivation en chaîne : on multiplie par la dérivée de l’exposant, soit a. La fonction exponentielle reste ensuite inchangée.

19. Dans un repère orthonormé, quelle formule donne la distance entre deux points A et B ?

A. AB=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2

B. AB=√((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)

C. AB=√((x_B+x_A)^2+(y_B+y_A)^2)

D. AB=(x_B-x_A)+(y_B-y_A)

Answer: (B)

Explanation

La distance AB est la norme du vecteur AB, ce qui conduit à la formule de distance usuelle dans le plan. Les autres expressions ne tiennent pas compte correctement du carré des écarts.

20. Quelle égalité correspond au théorème d’Al-Kashi dans un triangle ?

A. a^2=b^2+c^2-2bc cos(Â)

B. a^2=b^2+c^2+2bc cos(Â)

C. a=b+c-2bc cos(Â)

D. a^2=b^2-c^2-2bc cos(Â)

Answer: (A)

Explanation

Le théorème d’Al-Kashi relie le carré d’un côté au carré des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris. Le signe devant le terme en cosinus est négatif.

21. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y = f(a)(x - a) + f'(a)

B. y = f'(a)x + f(a)

C. y = f'(a)(x - a) + f(a)

D. y = f'(x)(a - x) + f(a)

Answer: (C)

Explanation

L’équation de la tangente en x = a s’écrit avec la pente f'(a) et le point de contact f(a), donc y = f'(a)(x - a) + f(a). Les autres propositions mélangent la pente, l’abscisse a ou l’ordonnée f(a).

22. Quelle est la dérivée d’un quotient u/v, lorsque v ne s’annule pas ?

A. (u'v - uv') / v

B. (u'v - uv') / v²

C. (u'v + uv') / v²

D. (u' + v') / v

Answer: (B)

Explanation

La règle du quotient donne bien une différence au numérateur et le carré du dénominateur : (u/v)' = (u'v - uv') / v². L’option avec un signe plus correspond à une confusion avec la règle du produit.