Cours sur la Théorie des Nombres

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et multiples
2. Division euclidienne
3. Congruence modulo n
4. Petit théorème de Fermat
5. PGCD et algorithme d’Euclide
6. Nombres premiers
7. Nombres premiers entre eux
8. PPCM et inverses modulo n
9. Identité de Bézout et équations diophantiennes

📖 1. Divisibilité et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Division dans Z : On dit que b divise a s’il existe un entier relatif q tel que a = bq.
• Notation b|a : La notation b|a signifie que b divise a, donc que a s’écrit comme un multiple de b.
• Multiple d’un entier : Un entier a est un multiple de b quand il existe un entier q tel que a = bq.
• Diviseur : Un entier b est un diviseur de a s’il existe un entier q tel que a = bq.

📝 Points essentiels

• Si a n’est pas un multiple de b alors b ne divise pas a.
• Tout entier a est divisible par 1 et par −1.
• Si b|a alors b|a^k pour tout k ∈ Z et b|a^n pour tout n ∈ N*.
• Si a|b et b|a alors a = ±b.
• Si c|a et c|b alors c divise au + bv quels que soient u et v entiers relatifs.

📖 2. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne dans Z : Pour a ∈ Z et b ∈ Z*, on écrit a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|, où q est le quotient et r le reste.
• Quotient : Le quotient q est l’entier de la division euclidienne qui permet d’obtenir a = bq + r.
• Reste euclidien : Le reste r est l’entier vérifiant 0 ≤ r < |b| dans l’égalité a = bq + r.

📝 Points essentiels