Quiz: Cours sur la Théorie des Nombres — 18 questions

1. Que signifie l’écriture b|a ?

A. a est un multiple de b

B. a et b ont le même reste modulo b

C. a et b sont premiers entre eux

D. b est un multiple de a

Answer: (A)

Explanation

L’écriture b|a signifie qu’il existe un entier q tel que a=bq, donc a est un multiple de b. La relation inverse correspondrait à a|b.

2. Si b divise a, quelle propriété est vraie pour toute puissance entière positive de a ?

A. a divise b^k pour tout entier naturel k non nul

B. b divise a uniquement si a est premier

C. b divise seulement a^2

D. b divise a^k pour tout entier naturel k non nul

Answer: (D)

Explanation

Si b|a, alors b divise aussi a^k pour tout entier naturel k non nul. C’est une propriété directe de la divisibilité.

3. Dans la division euclidienne de a par b avec b≠0, quelle forme doit prendre l’écriture de a ?

A. a=bq+r avec 0≤r<|b|

B. a=bq−r avec r≥0

C. a=b+r avec 0≤r<b

D. a=qr+b avec 0≤q<|b|

Answer: (A)

Explanation

La division euclidienne s’écrit a=bq+r avec 0≤r<|b|, où q est le quotient et r le reste. Cette condition sur r garantit l’unicité.

4. Si b>0, comment s’exprime le quotient q de la division euclidienne de a par b ?

A. q=E(b/a)

B. q=−E(a/b)

C. q=E(a/b)

D. q=E(−a/b)

Answer: (C)

Explanation

Lorsque b est positif, le quotient de la division euclidienne est la partie entière de a/b. Les autres expressions concernent d’autres cas ou sont incorrectes.

5. Que signifie a ≡ b (mod n) ?

A. n divise a−b

B. a et b ont le même quotient dans la division par n

C. a−b est forcément nul

D. a divise b−n

Answer: (A)

Explanation

On a a ≡ b (mod n) si et seulement si n divise a−b. Cela exprime que a et b diffèrent d’un multiple de n.

6. Si a ≡ r (mod n) avec 0≤r<n, que représente r ?

A. Le reste de la division euclidienne de a par n

B. Un diviseur commun de a et n

C. Le plus grand multiple de n inférieur à a

D. Le quotient de la division euclidienne de a par n

Answer: (A)

Explanation

Le nombre r est l’unique reste modulo n, donc le reste de la division euclidienne de a par n. Il appartient à l’intervalle {0,…,n−1}.

7. Dans quelles conditions peut-on appliquer le petit théorème de Fermat sous la forme a^{p−1} ≡ 1 (mod p) ?

A. Lorsque a et p sont pairs

B. Lorsque a est premier et p quelconque

C. Lorsque p est premier et p divise a

D. Lorsque p est premier et p ne divise pas a

Answer: (D)

Explanation

Le petit théorème de Fermat s’applique quand p est premier et que p ne divise pas a. Dans ce cas, a^{p−1} ≡ 1 (mod p).

8. Quel corollaire du petit théorème de Fermat est valable pour tout entier naturel a ?

A. a^{p+1} ≡ 0 (mod p)

B. a^p ≡ 1 (mod p)

C. a^p ≡ a (mod p)

D. a^{p−1} ≡ a (mod p)

Answer: (C)

Explanation

Pour p premier, on a pour tout a ∈ N : a^p ≡ a (mod p). C’est le corollaire direct du petit théorème de Fermat.

9. Dans une division euclidienne a=bq+r, quelle égalité relie les pgcd ?

A. pgcd(a,b)=pgcd(b,r)

B. pgcd(a,b)=pgcd(a,r)

C. pgcd(a,b)=pgcd(b,q)

D. pgcd(a,b)=pgcd(q,r)

Answer: (A)

Explanation

Dans l’algorithme d’Euclide, on remplace le couple (a,b) par (b,r) sans changer le pgcd. C’est la propriété clé de la méthode.

10. Comment obtient-on le pgcd de deux entiers avec l’algorithme d’Euclide ?

A. C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes

B. C’est toujours le plus petit des deux entiers

C. C’est le premier quotient non nul de la suite

D. C’est le reste de la première division uniquement

Answer: (A)

Explanation

Le pgcd est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des divisions euclidiennes. Les quotients ne donnent pas directement le pgcd.

11. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

A. Il admet exactement deux diviseurs entiers relatifs distincts

B. Il admet exactement deux diviseurs naturels distincts

C. Il est divisible par tous les entiers inférieurs à lui

D. Il n’admet qu’un seul diviseur naturel

Answer: (B)

Explanation

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs naturels distincts : 1 et lui-même. Cette définition exclut notamment 1.

12. Si n≥2 n’est pas premier, que peut-on affirmer ?

A. Il est toujours impair

B. Il est forcément divisible par 1 seulement

C. Il possède un diviseur premier p avec p≤√n

D. Il possède un diviseur premier strictement supérieur à n

Answer: (C)

Explanation

Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que p≤√n. Cela sert de critère pour tester la primalité.

13. Quand deux entiers a et b sont-ils premiers entre eux ?

A. Lorsque leur pgcd vaut 1

B. Lorsque leur produit vaut 1

C. Lorsque l’un divise l’autre

D. Lorsque leur somme vaut 1

Answer: (A)

Explanation

Deux entiers sont premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1. Cette condition exprime l’absence de diviseur commun non trivial.

14. Quelle conclusion donne le lemme de Gauss si a|bc et pgcd(a,b)=1 ?

A. c divise a

B. a divise b

C. b divise c

D. a divise c

Answer: (D)

Explanation

Le lemme de Gauss dit que si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. C’est un outil fondamental de divisibilité.

15. Quelle relation relie le pgcd et le ppcm de deux entiers a et b ?

A. (a∨b)+(a∧b)=|ab|

B. (a∨b)(a∧b)=|ab|

C. (a∨b)−(a∧b)=|ab|

D. (a∨b)=a∧b

Answer: (B)

Explanation

Le cours donne la relation (a∨b)(a∧b)=|ab|, où ∨ désigne le ppcm et ∧ le pgcd. C’est une identité classique reliant les deux notions.

16. Sous quelle condition un inverse de a modulo b existe-t-il de manière unique dans {1,…,b−1} ?

A. Lorsque a divise b

B. Lorsque pgcd(a,b)=1 et b≥2

C. Lorsque a est premier et b quelconque

D. Lorsque b divise a

Answer: (B)

Explanation

Si pgcd(a,b)=1 et b≥2, alors a admet un unique inverse modulo b dans {1,…,b−1}. L’existence dépend donc de l’être premier entre eux.

17. Quand l’équation ax+by=c admet-elle des solutions entières ?

A. Lorsque pgcd(a,b)=c

B. Lorsque c est premier

C. Lorsque pgcd(a,b) divise c

D. Lorsque a divise c et b divise c

Answer: (C)

Explanation

Une équation diophantienne ax+by=c admet des solutions dans Z^2 si et seulement si pgcd(a,b) divise c. C’est la condition fondamentale d’existence.

18. Que permet l’identité de Bézout lorsque a et b sont premiers entre eux ?

A. D’écrire a sous la forme bu+cv

B. De conclure que a et b sont égaux

C. De montrer que a divise b

D. D’écrire 1 sous la forme au+bv avec u,v entiers

Answer: (D)

Explanation

Si a et b sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que au+bv=1. Cette écriture est précisément l’identité de Bézout.