Revision sheet: Cours sur Suites, Trigonométrie et Géométrie

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques : définition et raison
2. Méthode pour reconnaître une suite arithmétique
3. Terme général d’une suite arithmétique
4. Sens de variation des suites géométriques
5. Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
6. Comportement à l’infini des suites
7. Équations trigonométriques de type cos x = cos a
8. Résolution d’inéquations et étude de signe
9. Produit scalaire : calcul par coordonnées
10. Orthogonalité par produit scalaire
11. Équation cartésienne d’une droite par vecteur normal
12. Suites numériques : récurrence et croissance

📖 1. Suites arithmétiques : définition et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont la différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à une raison r.
• Raison d’une suite : La raison d’une suite est le réel r qui relie deux termes consécutifs, via u_{n+1}=u_n+r pour une suite arithmétique.
• Terme général : Le terme général est l’expression de u_n en fonction de n, permettant de calculer directement n’importe quel terme.
• Somme des premiers termes : La somme des premiers termes est la valeur S_n obtenue en additionnant tous les termes de la suite depuis u_0 jusqu’à u_n.

📝 Points essentiels

• Une suite (u_n) est arithmétique s’il existe r∈ℝ tel que pour tout n∈ℕ, u_{n+1}=u_n+r.
• Pour conjecturer une raison, on compare les différences u_1−u_0 puis u_2−u_1 et on vérifie qu’elles sont égales.
• Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on calcule la différence u_{n+1}−u_n et on montre qu’elle ne dépend pas de n.
• Si la suite est arithmétique de raison r et de terme u_p, alors pour tout n∈ℕ, u_n=u_p+(n−p)r.
• En particulier, si p=0 alors u_n=u_0+nr et si p=1 alors u_n=u_1+(n−1)r.
• Si r>0 alors u_n→+∞ quand n→+∞, et si r<0 alors u_n→−∞ quand n→+∞.

💡 Astuce mémo

Différence constante : arithmétique = “+r” à chaque pas (u_{n+1}−u_n=r).

📖 2. Méthode pour reconnaître une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Différence constante : La différence constante est la valeur $d$ telle que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=d$.
• Terme général : Le terme général est l’expression qui donne $u_n$ en fonction de $n$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
• Suite majorée : Une suite est majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n$, $u_n\le M$.

📝 Points essentiels

• Pour reconnaître une suite arithmétique, calcule $u_{n+1}-u_n$ à partir de l’expression de $u_n$ et vérifie qu’elle ne dépend pas de $n$.
• Si $u_{n+1}-u_n=d$ est constant, alors la suite est arithmétique et $d$ est sa raison.
• Si $u_n$ est donné sous la forme $u_n=5\cdot 2^n$, alors $u_{n+1}=5\cdot 2^{n+1}$ et $u_{n+1}-u_n$ n’est pas constant (car il dépend de $n$).
• Dans l’exemple $u_n=5\cdot 2^n$, on compare plutôt $u_{n+1}$ à $u_n$ : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=2$, donc $u_{n+1}>u_n$ et la suite est croissante.
• Une suite décroissante vérifie $u_{n+1}<u_n$ pour tout $n$, ce qui se montre en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$ (par exemple via un quotient).
• Pour une suite monotone, le théorème de convergence monotone dit que toute suite croissante et majorée converge et toute suite décroissante et minorée converge.

💡 Astuce mémo

Différence→raison : calcule $u_{n+1}-u_n$ ; si ça ne bouge pas avec $n$, c’est arithmétique.

📖 3. Terme général d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison de la suite : La raison est la constante qui relie deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Terme initial : Le terme initial est le premier terme de la suite, noté généralement $u_0$ ou $u_1$ selon la convention.
• Terme général : Le terme général donne l’expression explicite d’un terme $u_n$ en fonction de $n$, du terme initial et de la raison.

📝 Points essentiels

• Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$.
• Avec un terme initial $u_0$, on a $u_n=u_0+n\,r$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Avec un terme initial $u_1$, on a $u_n=u_1+(n-1)\,r$ pour tout $n\ge 1$.
• La raison se calcule par $r=u_{n+1}-u_n$ (elle ne dépend pas de $n$).
• Pour deux indices $p<q$, on a $u_q-u_p=(q-p)\,r$, ce qui permet de retrouver $r$ ou un terme manquant.
• Comparaison : suite arithmétique vs suite géométrique : arithmétique additionne une constante ($u_{n+1}=u_n+r$) tandis que géométrique multiplie par une constante ($u_{n+1}=q\,u_n$).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = Addition : $u_n=u_0+n\,r$ (le $n$ multiplie la raison).

📖 4. Sens de variation des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$ appelée raison.
• Raison q : La raison $q$ est le facteur multiplicatif constant qui relie deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Monotonie : La monotonie décrit si une suite est croissante, décroissante, ou constante à partir d’un certain rang.
• Point fixe : Un point fixe est une valeur $L$ telle que, si un terme vaut $L$, le terme suivant vaut encore $L$.

📝 Points essentiels

• Si $q>1$ et $u_0>0$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si $0<q<1$ et $u_0>0$, alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si $q=1$, alors la suite est constante (tous les termes sont égaux).
• Si $q=0$, alors $u_1=0 puis tous les termes suivants valent 0.
• Si $q<0$, la suite alterne de signe et n’est pas monotone (elle change de sens d’un terme à l’autre).
• Pour trouver un point fixe $L$ dans une relation du type $u_{n+1}=qu_n+b$, on résout $L=qL+b$ puis on étudie le signe de $u_0-L$ pour le sens de variation.

💡 Astuce mémo

q>1 : ça “amplifie” ; 0<q<1 : ça “atténue” ; q=1 : stable ; q<0 : alternance de signe.

📖 5. Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison : La raison d’une suite arithmétique est la constante qui relie deux termes consécutifs, notée $r$.
• Premier terme : Le premier terme d’une suite arithmétique est le terme de rang 1, noté généralement $u_1$ (ou $u_0$ selon l’énoncé).
• Somme partielle : La somme des $n$ premiers termes est la quantité $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ (ou $S_n=u_0+\cdots+u_{n-1}$ selon le rang de départ).

📝 Points essentiels

• Si $u_1$ est le premier terme et $r$ la raison, alors $u_k=u_1+(k-1)r$ pour tout rang $k\ge 1$.
• La somme des $n$ premiers termes s’écrit $S_n=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$.
• On a aussi $S_n=\dfrac{n}{2}\bigl(2u_1+(n-1)r\bigr)$ en remplaçant $u_n$ par sa formule.
• Si l’énoncé démarre à $u_0$ (rang 0), alors $u_k=u_0+kr$ et la somme $u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}$ vaut $\dfrac{n}{2}(u_0+u_{n-1})$.
• Pour vérifier rapidement, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}$ doit retomber sur le terme ajouté.
• Comparaison des notations selon le rang de départ : $S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$ si on somme $u_1\to u_n$, et $S_n=\frac{n}{2}(u_0+u_{n-1})$ si on somme $u_0\to u_{n-1}$.

💡 Astuce mémo

Somme = « nombre de termes × moyenne » : $S_n= n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}$ (ou $u_0$ et $u_{n-1}$ si départ à 0).

📖 6. Comportement à l’infini des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse nulle : La vitesse nulle correspond aux instants où la dérivée de la position vaut 0, donc où le mouvement s’arrête momentanément.
• Équation sin(13t)=0 : Résoudre sin(13t)=0 revient à trouver les valeurs de t telles que 13t soit un multiple de π.
• Position h(t) : La position h(t) est la grandeur spatiale donnée en fonction du temps, ici sous la forme d’un cosinus.
• Sommet d’une parabole : Le sommet d’une parabole est le point où la fonction quadratique atteint son extremum, ici le minimum car le coefficient directeur est positif.

📝 Points essentiels

• La condition v(t)=0 se traduit par −0,65 sin(13t)=0, donc sin(13t)=0.
• Sur l’intervalle [0;2π], les solutions de sin(13t)=0 pour 13t sont 0, π et 2π.
• Pour 13t=0, on obtient t=0 et h(0)=0,05 cos(0)=0,05 m (haut).
• Pour 13t=π, on obtient t=π/13 et h(π/13)=0,05 cos(π)=−0,05 m (bas).
• Pour 13t=2π, on obtient t=2π/13 et h(2π/13)=0,05 cos(2π)=0,05 m (haut).
• Pour une fonction quadratique f(x)=x²+2x−6, le minimum est atteint au sommet d’abscisse −1 et vaut f(−1)=−7.

💡 Astuce mémo

sin(13t)=0 ⇔ 13t=0, π, 2π sur [0;2π] ; cos(0)=1 (haut), cos(π)=−1 (bas), cos(2π)=1 (haut).

📖 7. Équations trigonométriques de type cos x = cos a

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cos x = cos a : Équation trigonométrique où l’on cherche toutes les valeurs de x rendant les cosinus égaux à cos a.
• Solutions modulo 2π : En trigonométrie, les solutions se répètent avec une période 2π, ce qui permet d’écrire l’ensemble des x sous forme générale.
• Valeur principale de l’angle : Angle de référence choisi pour représenter a dans un intervalle standard, afin de construire les solutions de cos x = cos a.
• Symétrie par rapport à 0 : Le cosinus est une fonction paire, ce qui relie les solutions de x et de −x dans les équations cos x = cos a.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel a, cos x = cos a équivaut à x = 2kπ + a ou x = 2kπ − a, avec k entier.
• Si a est remplacé par un angle équivalent (a + 2kπ), les solutions obtenues restent les mêmes car le cosinus est 2π-périodique.
• Comme cos est paire, toute solution x donne aussi −x comme solution lorsque l’égalité porte sur des cosinus.
• Pour résoudre sur un intervalle [α;β], on calcule d’abord les solutions générales puis on ne garde que celles appartenant à [α;β].
• Si a = 0, l’équation devient cos x = 1 et les solutions sont x = 2kπ.
• Si a = π, l’équation devient cos x = −1 et les solutions sont x = (2k+1)π.

💡 Astuce mémo

Cos = même valeur pour deux angles symétriques : x = a et x = −a, puis on ajoute 2πk.

📖 8. Résolution d’inéquations et étude de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré compare une expression quadratique à 0 ou à un nombre, et son ensemble de solutions dépend du signe de cette expression.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$ et permet de savoir si l’expression s’annule (et donc change de signe) ou non.
• Racines : Les racines d’un trinôme sont les valeurs qui annulent l’expression, et elles servent de bornes pour l’étude de signe.
• Tableau de signe : Un tableau de signe organise le signe d’une expression factorisée sur les intervalles déterminés par ses racines.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $B(q)>0$, on cherche les valeurs de $q$ pour lesquelles le trinôme $B(q)$ est strictement positif.
• Si $B(q)=-q^2+20q-36$, alors $B(q)>0$ équivaut à $-q^2+20q-36$ strictement positif, donc on étudie le signe de ce trinôme.
• On calcule $\Delta=20^2-4\times(-1)\times(-36)=400-144=256$ puis $\sqrt{\Delta}=16$.
• Les racines de $-q^2+20q-36=0$ sont $q=\dfrac{-20\pm16}{2\times(-1)}$, soit $q=2$ et $q=18$.
• Comme le coefficient dominant de $B$ est négatif ($-1$), la parabole est tournée vers le bas et $B(q)>0$ entre les racines, donc $q\in]2;18[$.
• Dans le contexte, $q$ est en centaines de carnets, donc $q\in]2;18[$ correspond à une production strictement comprise entre 200 et 1800 carnets (en milliers d’euros pour le bénéfice).

💡 Astuce mémo

Parabole tournée vers le bas : signe + entre les deux racines (et signe − à l’extérieur).

📖 9. Produit scalaire : calcul par coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui mesure leur “alignement” et permet de relier géométrie et calculs numériques.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur sont ses composantes dans un repère, ce qui permet de calculer des produits scalaires par formule algébrique.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les axes sont perpendiculaires et unitaires, rendant les formules de distance et de produit scalaire directes.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui se traduit par une relation de proportionnalité entre leurs coordonnées.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule à partir des coordonnées des deux vecteurs, sans passer par un angle.
• Le produit scalaire sert à tester l’orthogonalité : si le produit scalaire vaut 0, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
• Le produit scalaire sert aussi à comparer des directions : un signe positif indique un angle aigu, un signe négatif un angle obtus.
• Pour vérifier la colinéarité par coordonnées, on cherche une proportion constante entre les composantes correspondantes des deux vecteurs.
• En pratique, on passe du “graphique” aux coordonnées en lisant les composantes dans le repère, puis on calcule l’indicateur demandé (produit scalaire, orthogonalité, colinéarité).

📖 10. Orthogonalité par produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur direction est perpendiculaire, ce qui se traduit par un produit scalaire nul.
• Produit scalaire : Le produit scalaire associe à deux vecteurs un réel qui mesure leur “alignement” et permet de tester l’orthogonalité.
• Repère orthogonal : Un repère orthogonal est un repère où les axes sont perpendiculaires, ce qui permet d’utiliser directement les formules du produit scalaire.
• Condition d’orthogonalité : L’orthogonalité de deux vecteurs se caractérise par l’égalité de leur produit scalaire à 0.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthogonal, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
• Pour des vecteurs $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ et $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$, on utilise $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2$.
• Si $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=0$, alors la droite $(OI)$ est perpendiculaire à la droite $(OC)$, donc $OH$ est une hauteur issue de $O$ vers $(OI)$ (cas de projection orthogonale).
• Pour un projeté orthogonal, le point $H$ vérifie que $\overrightarrow{CH}$ est orthogonal au vecteur directeur de la droite de projection.
• Le produit scalaire peut aussi s’exprimer via les longueurs et l’angle : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)$, ce qui donne directement $\cos(\theta)=0$ quand le produit scalaire est nul.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité = “zéro alignement” : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$ ⇔ $\theta=90^\circ$.

📖 11. Équation cartésienne d’une droite par vecteur normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal est un vecteur orthogonal à la direction d’une droite, donc perpendiculaire à tout vecteur directeur de cette droite.
• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’une droite s’écrit sous la forme $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq(0,0)$.
• Produit scalaire : Le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ mesure l’orthogonalité et vaut $0$ si et seulement si les vecteurs sont perpendiculaires.
• Condition d’appartenance : Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne de cette droite.

📝 Points essentiels

• Si $\vec n=(a,b)$ est un vecteur normal à la droite, alors tout point $M(x,y)$ de la droite vérifie $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ pour un point $M_0(x_0,y_0)$ de la droite.
• La forme $ax+by+c=0$ correspond à un vecteur normal $(a,b)$, car $ax+by+c=0$ est équivalente à $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
• Pour trouver l’équation, on identifie d’abord un vecteur normal à la droite (par orthogonalité avec un vecteur directeur).
• Si la droite passe par un point $C(x_C,y_C)$, on remplace $x=x_C$ et $y=y_C$ dans $ax+by+c=0$ pour déterminer $c$.
• Dans l’exercice, on obtient une droite de la forme $4x+3y+c=0$ car un vecteur normal est proportionnel à $(4,3)$.
• En utilisant le point $C(0,4)$, on calcule $c$ : $4\cdot0+3\cdot4+c=0$ donc $c=-12$, d’où l’équation $4x+3y-12=0$.

💡 Astuce mémo

Normal = perpendiculaire : si $\vec n=(a,b)$, alors la droite “impose” $a x + b y + c = 0$ ; pour $c$, tu plug le point connu.

📖 12. Suites numériques : récurrence et croissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente : Une suite récurrente est définie par une relation qui calcule chaque terme à partir des précédents, souvent via une formule du type $u_{n+1}=g(u_n)$.
• Terme initial : Le terme initial est la valeur donnée au départ (par exemple $u_0$ ou $u_1$) qui permet de démarrer le calcul de tous les termes suivants.
• Croissance d’une suite : Une suite est dite croissante si, à partir d’un certain rang, chaque terme est supérieur ou égal au précédent.
• Monotonie : La monotonie décrit le sens d’évolution d’une suite : elle est croissante ou décroissante à partir d’un rang donné.

📝 Points essentiels

• Pour étudier une suite définie par récurrence, on compare $u_{n+1}$ et $u_n$ pour déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$.
• Si $u_{n+1}-u_n\ge 0$ pour tout $n$ (ou pour tout $n\ge N$), alors la suite est croissante à partir de $N$.
• Si $u_{n+1}-u_n\le 0$ pour tout $n$ (ou pour tout $n\ge N$), alors la suite est décroissante à partir de $N$.
• Une suite peut être monotone seulement à partir d’un certain rang : on cherche donc souvent un $N$ à partir duquel le signe se stabilise.
• Pour une récurrence de type $u_{n+1}=g(u_n)$, le comportement dépend de la fonction $g$ et de la position de $u_n$ par rapport aux points où $g(x)-x$ change de signe.

💡 Astuce mémo

Comparer $u_{n+1}$ à $u_n$ : le signe de $u_{n+1}-u_n$ décide du sens (croissant si +, décroissant si −).

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique (rappels)

Type de suite	Relation de récurrence	Variation
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+r	si r>0 alors u_n→+∞ ; si r<0 alors u_n→−∞
Géométrique	u_{n+1}=q·u_n (q≠0)	si q>1 et u_0>0 alors strictement croissante ; si 0<q<1 et u_0>0 alors strictement décroissante ; si q=1 constante ; si q<0 alternance de signe et non monotone

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition d’arithmétique : il faut que u_{n+1}-u_n soit constante (pas u_{n+1}/u_n).
2. Pour u_n=5·2^n, croire que la suite est arithmétique : en réalité u_{n+1}-u_n dépend de n, mais u_{n+1}/u_n=2 est constant.
3. Mélanger les formules du terme général selon le rang de départ : avec u_0, u_n=u_0+nr ; avec u_1, u_n=u_1+(n-1)r.
4. En géométrique, oublier que q=0 impose u_1=0 puis tous les termes suivants valent 0 ; ou croire que q<0 donne une suite monotone.
5. Se tromper sur le signe dans la somme d’une arithmétique : S_n= (n/2)(u_1+u_n) si on somme u_1→u_n, et S_n=(n/2)(u_0+u_{n-1}) si on somme u_0→u_{n-1}.
6. Pour une inéquation du second degré, prendre le signe “à l’extérieur” même quand le coefficient dominant est négatif : ici B(q)>0 est entre les racines si le trinôme est tourné vers le bas.
7. En trigonométrie cos x = cos a, oublier les deux familles x=2kπ+a et x=2kπ−a (et ne pas filtrer ensuite sur l’intervalle demandé).

✅ Checklist Examen

1. Reconnaître une suite arithmétique en vérifiant que u_{n+1}-u_n est constante et en identifiant la raison r.
2. Calculer le terme général d’une suite arithmétique à partir de la raison r et d’un terme u_p : u_n=u_p+(n-p)r, puis traiter les cas p=0 et p=1.
3. Étudier le comportement à l’infini d’une suite arithmétique : r>0 ⇒ +∞, r<0 ⇒ −∞.
4. Reconnaître une suite géométrique en vérifiant que u_{n+1}/u_n est constant (raison q) et utiliser u_{n+1}=q·u_n.
5. Donner le terme général d’une suite géométrique : u_n=u_p·q^{n-p} et traiter p=0 puis p=1.
6. Étudier le sens de variation d’une suite géométrique selon q (q>1, 0<q<1, q=1, q=0, q<0) en tenant compte du signe de u_0.
7. Calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique : S_n=(n/2)(u_1+u_n) ou S_n=(n/2)(u_0+u_{n-1}) selon le rang de départ.
8. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique : 1+q+…+q^n = (1-q^{n+1})/(1-q) pour q≠1.
9. Résoudre une équation trigonométrique cos x = cos a en écrivant x=2kπ+a ou x=2kπ−a puis en filtrant sur l’intervalle demandé.
10. Résoudre une équation trigonométrique sin x = sin a en écrivant x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ puis en filtrant.
11. Résoudre une inéquation du second degré via discriminant Δ, racines et tableau de signe (signe + entre les racines si coefficient dominant négatif).
12. Calculer un produit scalaire par coordonnées dans un repère orthonormé : (x,y)·(x',y')=xx'+yy', puis utiliser le critère d’orthogonalité (produit scalaire nul).
13. Écrire l’équation cartésienne d’une droite à partir d’un vecteur normal (a,b) : ax+by+c=0, puis déterminer c en remplaçant un point connu.
14. Pour une fonction quadratique, utiliser discriminant et signe du trinôme pour conclure sur les solutions et le signe de f(x).