Série numérique : Somme infinie de termes d'une suite (un), notée ∑ un, dont la somme partielle de rang N est SN = ∑ n=0 à N un. La série est convergente si la limite de SN quand N tend vers l'infini existe et est finie ; sinon elle est divergente.
Somme d'une série : La limite de la somme partielle SN quand N → +∞, notée ∑ un, S. Si cette limite existe, S est la somme de la série.
Convergence et divergence : Une série converge si ses sommes partielles ont une limite finie ; elle diverge sinon. La propriété fondamentale : si ∑ un converge, alors lim n→+∞ un = 0.
Séries positives : Séries dont tous les termes un sont positifs. Leur étude repose notamment sur le critère de comparaison, d’équivalence, et le théorème de comparaison à une intégrale.
Critère de comparaison : Si deux séries de termes positifs un et vn vérifient un ≤ vn à partir d’un rang N, alors :
1. Qu'est-ce qu'une série numérique ?
2. Selon le critère de la série de Riemann, pour quels valeurs de α la série ∑ 1/n^α converge-t-elle ?
3. Quel est le rôle principal de la série géométrique dans l'étude des séries infinies ?
Série numérique — définition ?
Somme infinie de termes d'une suite, convergence si limite finie.
Convergence — propriété ?
Sommes partielles ont une limite finie quand N→∞.
Divergence — propriété ?
Sommes partielles n'ont pas de limite finie quand N→∞.
Limite du terme général — nécessité ?
Doit être zéro pour que la série converge.
Séries positives — définition ?
Séries avec tous les termes positifs.
Critère de comparaison — rôle ?
Comparer une série à une série connue pour déterminer sa convergence.
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