Revision sheet: Critères et tests de convergence des séries

📋 Plan du Cours

1. Séries numériques définition
2. Convergence et divergence
3. Séries géométriques
4. Critère de convergence
5. Séries positives
6. Critère de comparaison
7. Critère d’équivalence
8. Série négligeable
9. Théorème de comparaison à une intégrale
10. Séries de Riemann
11. Règle nα
12. Critère de d’Alembert

📖 1. Séries numériques définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Somme infinie de termes d'une suite (un), notée ∑ un, dont la somme partielle de rang N est SN = ∑ n=0 à N un. La série est convergente si la limite de SN quand N tend vers l'infini existe et est finie ; sinon elle est divergente.

• Somme d'une série : La limite de la somme partielle SN quand N → +∞, notée ∑ un, S. Si cette limite existe, S est la somme de la série.

• Convergence et divergence : Une série converge si ses sommes partielles ont une limite finie ; elle diverge sinon. La propriété fondamentale : si ∑ un converge, alors lim n→+∞ un = 0.

• Séries positives : Séries dont tous les termes un sont positifs. Leur étude repose notamment sur le critère de comparaison, d’équivalence, et le théorème de comparaison à une intégrale.

• Critère de comparaison : Si deux séries de termes positifs un et vn vérifient un ≤ vn à partir d’un rang N, alors :

  • Si ∑ un diverge, alors ∑ vn diverge.
  • Si ∑ vn converge, alors ∑ un converge.

• Séries de Riemann : Séries de termes un = 1/n^α, où α ∈ R. Convergent si et seulement si α > 1, sinon divergentes.

📝 Points essentiels

• La limite du terme général un doit être nulle pour que la série puisse converger (condition nécessaire).
• La convergence absolue (∑ |un|) implique la convergence de la série, mais pas l'inverse.
• Les séries géométriques ∑ a^n convergent si |a| < 1, avec somme 1/(1−a).
• Les séries alternées convergent si les termes décroissent en valeur absolue vers 0 (théorème des séries alternées).
• Le critère de d’Alembert et le critère de Cauchy permettent de tester la convergence en utilisant la limite du rapport ou de la racine n-ième.

💡 À retenir

Une série numérique converge si ses termes tendent vers zéro et si elle vérifie certains critères de comparaison ou de rapport. La convergence absolue est un critère fort, garantissant la stabilité de la somme, tandis que la divergence des termes ne suffit pas à conclure à la divergence de la série.

📖 2. Convergence et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Somme infinie de termes (un), notée ∑ un, dont la convergence dépend de la limite de ses sommes partielles SN = ∑ n=0 à N un.
• Convergence d'une série : La série ∑ un est convergente si la limite de SN quand N tend vers l'infini existe et est finie. La somme de la série est cette limite.
• Divergence d'une série : La série ∑ un est divergente si la limite des sommes partielles SN n'existe pas ou est infinie.
• Critère de convergence (limite du terme général) : Si ∑ un converge, alors lim n→∞ un = 0. La réciproque n'est pas toujours vraie.
• Séries positives : Séries où tous les termes un sont positifs. Leur étude utilise souvent des critères de comparaison ou d'intégrale.
• Série absolument convergente : Série ∑ un est absolument convergente si ∑ |un| converge. La convergence absolue implique la convergence, mais pas l'inverse.

📝 Points essentiels

• La limite du terme général un doit tendre vers 0 pour que la série puisse converger.
• La convergence d'une série géométrique ∑ an (avec un = a^n) dépend de |a| < 1.
• Les critères de comparaison, d'équivalence, et d'approximation par une intégrale sont fondamentaux pour analyser la convergence.
• La série de Riemann ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1.
• Les séries alternées convergent si leurs termes décroissent vers 0 (théorème des séries alternées).
• La convergence absolue est une condition forte : si ∑ |un| converge, alors ∑ un converge aussi.

💡 À retenir

La convergence ou divergence d'une série dépend principalement du comportement de ses termes à l'infini, avec des critères variés (limite du terme, comparaison, intégrale, etc.) permettant d'établir la nature de la série.

📖 3. Séries géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série géométrique : Série de terme général $u_n = a \times r^n$, où $a \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $r \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Elle s’écrit $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n$.

• Convergence d'une série géométrique : La série converge si et seulement si $|r| < 1$. Dans ce cas, sa somme est donnée par $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1 - r}$.

• Divergence d'une série géométrique : Si $|r| \geq 1$, la série diverge, c’est-à-dire que la somme n’a pas de sens fini.

• Somme d'une série géométrique : Pour $|r| < 1$, la somme infinie est $\frac{a}{1 - r}$. Pour une série finie de rang $N$, la somme est $S_N = a \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$.

• Limite du terme général : Si la série converge, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. Pour une série géométrique, cela implique $\lim_{n \to \infty} a r^n = 0$, ce qui est vrai si $|r| < 1$.

Point à retenir

Une série géométrique converge si et seulement si le rapport $r$ est strictement inférieur en valeur absolue à 1, et sa somme est alors donnée par la formule $\frac{a}{1 - r}$.

📖 4. Critère de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série convergente : Série dont la somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^N u_n$ admet une limite finie quand $N \to \infty$. La somme est notée $\sum_{n=0}^\infty u_n = S$.

• Série divergente : Série dont la somme partielle $S_N$ n’admet pas de limite finie quand $N \to \infty$. La série n’a pas de somme définie.

• Critère de convergence (limite du terme général) : Si une série $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. La réciproque n’est pas toujours vraie.

• Série géométrique : Série de terme général $u_n = a \cdot r^n$. Elle converge si et seulement si $|r| < 1$, avec somme $\frac{1}{1 - r}$.

• Critère d’équivalence : Deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$. Elles ont alors la même convergence ou divergence.

📝 Points essentiels

• La limite du terme général $u_n$ doit être nulle pour qu’une série converge (critère nécessaire).

• La convergence de séries géométriques dépend strictement de $|r| < 1$.

• La limite du terme général ne suffit pas pour garantir la convergence ; il faut utiliser d’autres critères.

• La somme d’une série convergente est la limite de ses sommes partielles $S_N$.

• La propriété de stabilité : si deux séries sont équivalentes à l’infini, elles ont la même nature (convergence ou divergence).

💡 À retenir

Le critère de convergence repose principalement sur la limite du terme général et sur des critères comparatifs ou d’équivalence, permettant d’établir la nature d’une série sans calculer sa somme explicitement.

📖 5. Séries positives

🔑 Notions clés & Définitions

Série positive : Série dont tous les termes sont positifs, c’est-à-dire un ≥ 0 pour tout n.

Convergence d'une série : La série ∑ un converge si la somme partielle SN = ∑ n=0 à N un admet une limite finie quand N tend vers l’infini. Sinon, elle diverge.

Critère de comparaison : Si deux séries de termes positifs un et vn satisfont ∀ n ≥ n₀, un ≤ vn, alors :

• Si ∑ vn diverge, alors ∑ un diverge.
• Si ∑ vn converge, alors ∑ un converge.

Critère d’équivalence : Deux séries de termes positifs un et vn sont de même nature si lim n→+∞ (un / vn) = 1. Elles ont donc la même convergence ou divergence.

Critère d’une suite négligeable : Si lim n→+∞ (un / vn) = 0, alors :

• Si ∑ un diverge, alors ∑ vn diverge.
• Si ∑ vn converge, alors ∑ un converge.

Théorème de comparaison à une intégrale : Si f est une fonction positive, continue, décroissante vers 0 sur R+ et f(n) = un, alors ∑ un et ∫∞ 1 f(x) dx ont la même nature (convergence ou divergence).

Critère de d’Alembert : Pour une série de termes positifs un, si lim n→+∞ (un+1 / un) = λ :

• Si λ < 1, la série converge.
• Si λ > 1, la série diverge.
• Si λ = 1, le critère ne donne pas d’information.

Critère de Cauchy : Pour une série de termes positifs un, si lim n→+∞ n√un = λ :

• Si λ < 1, la série converge.
• Si λ > 1, elle diverge.
• Si λ = 1, le critère est indéterminé.

Point à retenir

Les séries positives sont principalement étudiées à l’aide de critères comparatifs, d’équivalence, et de comparaison à une intégrale, permettant de déterminer leur convergence ou divergence en se basant sur le comportement asymptotique de leurs termes.

📖 6. Critère de comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de comparaison : Méthode permettant de déterminer la convergence ou divergence d'une série en la comparant à une autre série dont la nature est connue. Si pour tout n à partir d’un certain rang, un ≤ vn avec des termes positifs, alors :

  • Si ∑ vn diverge, alors ∑ un diverge.
  • Si ∑ vn converge, alors ∑ un converge.

• Série positive : Série dont tous les termes sont positifs (un ≥ 0 ∀ n). La comparaison est souvent simplifiée dans ce cas.

• Majorant et minorant : Termes utilisés pour désigner respectivement une série qui sert de limite supérieure ou inférieure dans la comparaison.

• Convergence et divergence : La série converge si la somme partielle tend vers une limite finie quand n → ∞ ; elle diverge sinon.

• Critère d’équivalence : Deux séries de termes positifs un et vn sont équivalentes à l’infini si lim n→∞ (un / vn) = 1. Elles ont alors la même nature (convergence ou divergence).

📝 Points essentiels

• La comparaison repose sur l’ordre des termes : si un ≤ vn pour n suffisamment grand, alors la convergence ou divergence de ∑ vn influence directement celle de ∑ un.
• La série ∑ un diverge si la série majorante ∑ vn diverge.
• La série ∑ un converge si la série minorante ∑ vn converge.
• La méthode est particulièrement efficace pour des séries de termes positifs, notamment en utilisant des séries de référence comme celles de Riemann ou géométriques.
• La comparaison est souvent combinée avec d’autres critères (d’Alembert, d’Abel, etc.) pour affiner l’analyse.

💡 À retenir

Le critère de comparaison permet d’établir la nature d’une série en la comparant à une série de référence dont la convergence ou divergence est connue, en utilisant l’ordre des termes pour déduire la convergence ou divergence de la série étudiée.

📖 7. Critère d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère d’équivalence : Condition permettant de déterminer si deux séries de termes positifs ont la même nature (convergence ou divergence) en comparant leur limite de ratio à l’infini.

• Série de termes généraux $u_n$ et $v_n$ : Suites de nombres réels ou complexes formant la série, souvent positives dans ce contexte.

• $u_n \sim_\infty v_n$ (équivalence à l’infini) : Lorsqu’on a $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$, indiquant que $u_n$ et $v_n$ sont asymptotiquement proches.

• Nature d’une série : Propriété de convergence ou divergence d’une série, déterminée par ses termes ou par des critères de comparaison.

• Limite du ratio : Limite de $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ou $\frac{u_n}{v_n}$ à l’infini, utilisée pour analyser la convergence.

📝 Points essentiels

• Si deux séries de termes positifs $u_n$ et $v_n$ sont équivalentes à l’infini ($\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$), elles ont la même nature (convergent ou divergent).

• La preuve repose sur le fait que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour $n \geq N$, $\left| \frac{u_n}{v_n} - 1 \right| \leq \varepsilon$, ce qui implique que $u_n$ et $v_n$ sont proches asymptotiquement.

• La méthode permet de simplifier l’analyse de la convergence en comparant une série compliquée à une série connue (exemple : séries géométriques, séries de Riemann).

• Exemple pratique : La série $\sum (1 - \cos(1/n))$ peut être analysée en utilisant une série équivalente dont la nature est connue.

💡 À retenir

Le critère d’équivalence établit que deux séries de termes positifs asymptotiquement équivalents partagent la même propriété de convergence ou de divergence, simplifiant ainsi leur étude.

📖 8. Série négligeable

🔑 Notions clés & Définitions

• Série négligeable : Deux séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ sont telles que $u_n$ est négligeable devant $v_n$ à l'infini si $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$.
  Signification : $u_n$ devient insignifiante par rapport à $v_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

• Notion de limite de rapport : La limite du rapport $\frac{u_n}{v_n}$ à l'infini permet de comparer la croissance ou décroissance des deux suites.
  Valeurs clés :

  • Si la limite est 0, alors $u_n$ est négligeable devant $v_n$.
  • Si la limite est un nombre fini non nul, les séries ont la même nature.
  • Si la limite est infinie, $u_n$ domine $v_n$.

• Critère de convergence par négligence : Si $u_n = o(v_n)$ (c’est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$) et si la série $\sum v_n$ converge ou diverge, alors la série $\sum u_n$ a la même nature (converge ou diverge).

📝 Points essentiels

• La relation $u_n = o(v_n)$ implique que $u_n$ devient insignifiant par rapport à $v_n$ à l'infini.
• Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge aussi, car $u_n$ est négligeable devant $v_n$.
• Si $\sum v_n$ diverge, la divergence de $\sum u_n$ n'est pas assurée, mais la convergence de $\sum u_n$ est impossible si $u_n$ est négligeable devant $v_n$.

💡 À retenir

Lorsqu'une série de terme général $u_n$ est négligeable devant une autre série $v_n$, cela permet de déduire la nature de $\sum u_n$ à partir de celle de $\sum v_n$. En particulier, si $u_n = o(v_n)$ et que $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge également.

📖 9. Théorème de comparaison à une intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction positive, continue et décroissante :
Une fonction $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est positive si $f(x) > 0$ pour tout $x \geq a$, continue si elle n'a pas de saut, et décroissante si $f(x_1) \geq f(x_2)$ pour $x_1 \leq x_2$.

Série de terme général $u_n$ :
Une somme infinie $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ où chaque terme $u_n$ est un nombre réel ou complexe. La série est convergente si la somme de ses termes tend vers une limite finie.

Intégrale impropre $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ :
Intégrale dont la borne supérieure est infinie, évaluée comme la limite $\lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$, si cette limite existe et est finie.

Critère de comparaison :
Méthode permettant de déterminer la convergence ou divergence d'une série ou d'une intégrale en la comparant à une autre dont on connaît la nature, en utilisant des majorations ou minorations.

📝 Points essentiels

• Le théorème établit que pour une fonction positive, continue et décroissante $f$ sur $\mathbb{R}^+$, la série $\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)$ et l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ sont de même nature (convergence ou divergence).
• La preuve repose sur le fait que, pour tout $n$, on a :
  $\int_{n}^{n+1} f(x) dx \leq f(n) \leq \int_{n-1}^{n} f(x) dx$.
  Cela permet d'encadrer la somme par des intégrales et vice versa.
• En pratique, on utilise ce théorème pour tester la convergence d'une série en étudiant la convergence de l'intégrale associée, ou inversement.

💡 À retenir

Le théorème de comparaison à une intégrale permet de transférer la question de convergence d'une série à celle d'une intégrale, simplifiant ainsi l'analyse grâce aux outils du calcul intégral.

📖 10. Séries de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de terme général $u_n$ : Somme infinie $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ où $u_n$ est une suite réelle ou complexe. La série est convergente si la somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ admet une limite finie quand $N \to \infty$. Sinon, elle est divergente.

• Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ : Série dont le terme général est $u_n = \frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$. Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$, diverge sinon.

• Critère de convergence par le terme $u_n$ : Si la série $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. La réciproque n’est pas toujours vraie.

• Critère de comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ pour $n \geq n_0$, alors :

  • Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
  • Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

• Critère d’équivalence $u_n \sim v_n$ : Si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$, alors les deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature (convergence ou divergence).

📝 Points essentiels

• La convergence d’une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dépend strictement de la valeur de $\alpha$. Elle converge si $\alpha > 1$, diverge sinon.
• La limite du terme général $u_n$ doit être nulle pour que la série puisse converger.
• Les critères de comparaison, d’équivalence, et d’approximation par une intégrale permettent d’établir la nature de la série.
• La série de Riemann est un exemple fondamental pour étudier la convergence de séries infinies à termes positifs ou alternés.

💡 À retenir

Les séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ illustrent que la convergence dépend du taux de décroissance du terme général, et leur étude repose sur des critères simples mais puissants comme la comparaison ou l’analyse asymptotique.

📖 11. Règle nα

🔑 Notions clés & Définitions

• Série convergente : Série ∑ un dont la somme partielle SN = ∑ n=0 à N un admet une limite finie quand N tend vers l’infini. La somme est notée ∑ n≥0 un = S.
• Série divergente : Série dont la somme partielle SN n’admet pas de limite finie quand N tend vers l’infini.
• Termes nuls (∑ un) : Si une série est convergente, alors lim n→+∞ un = 0. La réciproque n’est pas toujours vraie.
• Série géométrique : Série de terme général un = a^n, converge si et seulement si |a| < 1, sinon diverge.
• Série de Riemann : Série de terme général 1/n^α, converge si et seulement si α > 1, diverge sinon.
• Critère de d’Alembert : Pour une série ∑ un, si lim n→+∞ un+1 / un = `, alors :
  • Si ` < 1, la série converge.
  • Si ` > 1, la série diverge.
  • Si ` = 1, rien n’est assuré.

📝 Points essentiels

• La convergence d’une série implique que ses termes tendent vers 0, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
• La série géométrique est un exemple classique illustrant la convergence selon la valeur de a.
• La règle nα indique que si n^α * un tend vers 0 avec α > 1, alors la série ∑ un converge ; si elle tend vers +∞ avec α ≤ 1, la série diverge.
• Le critère de comparaison permet d’établir la convergence ou divergence en comparant une série à une autre connue.
• La série de Riemann illustre la dépendance entre α et la convergence, avec une limite claire à α = 1.

💡 À retenir

La règle nα fournit une condition simple pour déterminer la convergence des séries positives de la forme ∑ 1/n^α : elles convergent si α > 1 et divergent si α ≤ 1.

📖 12. Critère de d’Alembert

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de d’Alembert : Méthode permettant de déterminer la convergence ou divergence d'une série en étudiant la limite du rapport du terme général suivant au terme actuel, soit $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$.

• Terme général $u_n$ : Expression représentant chaque terme d'une série, généralement positive dans le contexte du critère.

• Limite du rapport $\ell$ : La valeur vers laquelle tend $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque $n \to +\infty$.

• Convergence : La série $\sum u_n$ converge si la limite $\ell < 1$.

• Divergence : La série $\sum u_n$ diverge si la limite $\ell > 1$ ou si elle n'existe pas.

📝 Points essentiels

• Le critère de d’Alembert s'applique aux séries de termes positifs $u_n$.

• La limite $\ell = \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ détermine la nature de la série :

  • Si $\ell < 1$, alors la série converge.
  • Si $\ell > 1$, alors la série diverge.
  • Si $\ell = 1$, le critère est indécis, il faut utiliser un autre critère.

• Ce critère est particulièrement utile pour analyser les séries géométriques ou celles dont le terme général est une fonction exponentielle ou rationnelle.

• La limite $\ell$ peut être calculée en utilisant des techniques de limite classique ou de l'Hôpital si nécessaire.

💡 À retenir

Le critère de d’Alembert compare le rapport entre deux termes consécutifs pour juger de la convergence d'une série, étant efficace lorsque ce rapport tend vers une limite différente de 1.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère / Série	Condition	Résultat / Formule	Convergence / Divergence
Série géométrique	$	r	< 1 $
Série géométrique	$	r	\geq 1 $
Série de Riemann	$\sum 1/n^\alpha$	—	Converge si $\alpha > 1$, diverge sinon
Critère de d'Alembert	$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lambda$	$\lambda < 1 \Rightarrow$ converge, $\lambda > 1 \Rightarrow$ diverge	—
Critère d’intégrale	$u_n = f(n)$, $f$ positive, décroissante	$\sum u_n$ et $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ ont même nature	—

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre convergence et limite du terme général : La limite du terme général $u_n \to 0$ est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.
2. Faux amis : Confondre série divergente avec série dont les termes ne tendent pas vers zéro (ex. série géométrique avec $|r| \geq 1$).
3. Erreur d’application du critère de comparaison : Utiliser un majorant ou minorant incorrect ou mal justifié.
4. Confusion entre convergence absolue et convergence simple : La convergence absolue garantit la convergence, mais pas l’inverse.
5. Erreur dans le critère de d'Alembert : Limite du rapport n’est pas toujours représentative si la série n’est pas positive.
6. Mauvaise utilisation du critère d’intégrale : Négliger la décroissance de la fonction $f$ ou ne pas vérifier sa positivité.
7. Confusion entre séries géométriques et autres séries : La formule de somme ne s’applique qu’aux séries géométriques avec $|r| < 1$.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier si la limite du terme général $u_n$ tend vers zéro.
2. Identifier si la série est géométrique et appliquer la formule de somme si $|r| < 1$.
3. Utiliser le critère de d'Alembert pour tester la convergence d'une série positive.
4. Appliquer le critère de comparaison ou d’équivalence pour des séries de termes positifs.
5. Vérifier si la série est une série de Riemann et appliquer le critère de convergence selon $\alpha$.
6. Utiliser le critère d’intégrale pour séries de termes décroissants positifs.
7. Vérifier si la série est absolument convergente ou simplement convergente.
8. Calculer la limite du rapport ou de la racine n-ième pour appliquer le critère de d'Alembert ou Cauchy.
9. S’assurer que la série de termes positifs respecte la décroissance nécessaire pour appliquer le critère d’intégrale.
10. Vérifier si la série est alternée et appliquer le théorème des séries alternées.
11. Vérifier la stabilité de la convergence en utilisant le critère d’équivalence.
12. Conclure la convergence ou divergence en utilisant plusieurs critères si nécessaire.