Revision sheet: Équations algébriques

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Propriété du produit nul
3. Résolution par factorisation
4. Équations avec un carré
5. Équations-quotients

📖 1. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation dans laquelle on cherche à isoler x pour obtenir une égalité de la forme x = nombre.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on ramène les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre, on réduit chaque membre, puis on divise par le coefficient de x.

Compléments

• Dans l’équation −5x + 3 = −3x + 2, on obtient −2x = −1, puis x = 1/2.

• Dans l’équation 3(x + 4) = −(x + 5) + 2, la distributivité et la réduction donnent 4x = −15, puis x = −15/4.

💡 Astuce mémo

Développer, regrouper, réduire, isoler

📖 2. Propriété du produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation-produit : Équation de la forme $P(x)\times Q(x)=0$, où P(x) et Q(x) sont des expressions littérales.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation-produit, on annule séparément chaque facteur, on résout les équations obtenues, puis on réunit toutes les solutions.

📌 Si le produit de deux facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul : $A\times B=0\Rightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

💡 Astuce mémo

Produit nul : un facteur ou l’autre vaut zéro

📖 3. Résolution par factorisation

★ À maîtriser

• Lorsqu’une équation n’est pas encore sous forme de produit nul, on factorise d’abord l’expression avant d’annuler les facteurs.

Compléments

• L’équation (3x + 1)(1 − 6x) − (3x + 7)(3x + 1) = 0 se factorise en (3x + 1)(−9x − 6) = 0 et possède les solutions −2/3 et −1/3.

💡 Astuce mémo

Factoriser → appliquer le produit nul → résoudre chaque facteur

📖 4. Équations avec un carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation carrée : Équation de la forme $x^2=a$ qui se résout selon le signe de a.

📝 Points essentiels

📌 Si a < 0, l’équation $x^2=a$ n’a aucune solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul.

📌 Si a = 0, l’équation $x^2=a$ possède l’unique solution x = 0.

📌 Si a > 0, l’équation $x^2=a$ possède deux solutions x = −√a et x = √a.

💡 Astuce mémo

a négatif : aucune solution ; a nul : une ; a positif : deux

📖 5. Équations-quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation-quotient : Équation de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$, avec $Q(x)\ne0$.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation-quotient, on détermine d’abord les valeurs interdites, on impose qu’elles soient exclues, puis on transforme l’équation et on résout le numérateur obtenu.

📌 Pour qu’un quotient soit nul, son numérateur doit être nul et son dénominateur doit être non nul.

Compléments

• Dans l’exemple où le dénominateur est x − 1, la valeur x = 1 est interdite et la résolution du numérateur 3x + 5 = 0 donne x = −5/3.

• Dans l’équation dont le dénominateur est x + 3 et dont la transformation donne x² = 9, la solution x = −3 est interdite et la seule solution retenue est x = 3.

💡 Astuce mémo

Domaine interdit, transformation, résolution, vérification