Cuestionario: Fundamentos de trigonometría, progresiones y cónicas — 9 preguntas

1. ¿Cómo se comparan las funciones seno, coseno y tangente en términos de periodicidad y puntos de no definición?

A. Seno y coseno tienen el mismo período y la tangente presenta asíntotas en ciertos puntos.

B. Seno y coseno tienen diferentes períodos y la tangente no presenta asíntotas.

C. Las tres funciones tienen el mismo período y no presentan asíntotas.

D. Seno y coseno no son periódicas, mientras que la tangente sí lo es, sin asíntotas.

Answer: (A)

Explicación

El texto indica que las funciones seno y coseno tienen un período de 2π, mientras que la tangente tiene un período de π y presenta asíntotas en los puntos donde coseno es cero. Por lo tanto, la comparación correcta es que seno y coseno tienen el mismo período y la tangente tiene un período diferente, además de presentar asíntotas.

2. ¿Cuál es la relación fundamental entre seno y coseno conocida como identidad pitagórica?

A. sin²(θ) + cos²(θ) = 1

B. tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

C. sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

D. 1 + tan²(θ) = sec²(θ)

Answer: (A)

Explicación

La identidad pitagórica fundamental es sin²(θ) + cos²(θ) = 1, derivada del teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo de radio unidad, y es esencial en trigonometría para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

3. ¿Cuál es la consecuencia principal de la identidad pitagórica en el estudio de funciones trigonométricas?

A. Reduce la necesidad de conocer ángulos en radianes

B. Aumenta la cantidad de funciones trigonométricas independientes

C. Impide el uso de identidades de ángulo doble

D. Permite derivar y simplificar expresiones trigonométricas

Answer: (D)

Explicación

La identidad pitagórica, al establecer que sin²θ + cos²θ = 1, permite derivar y simplificar expresiones trigonométricas, facilitando la resolución de ecuaciones y el análisis de funciones trigonométricas.

4. ¿Qué consecuencia tiene la identidad pitagórica para la función tangente en relación con las funciones secante y cosecante?

A. tan²(θ) + 1 = sec²(θ)

B. tan(θ) = 1 / cot(θ)

C. tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

D. sec²(θ) + csc²(θ) = 1

Answer: (A)

Explicación

De la identidad pitagórica, se deduce que tan²(θ) + 1 = sec²(θ), lo cual es útil para transformar expresiones y resolver ecuaciones en la función tangente y sus relacionadas.

5. ¿Cuál es el período de las funciones seno y coseno?

A. 2π

B. π/2

C. π

D. 2

Answer: (A)

Explicación

El período de las funciones seno y coseno es 2π, lo que significa que sus gráficas se repiten cada 2π en su dominio, una propiedad clave en el modelado de fenómenos periódicos.

6. ¿En qué puntos la función tangente tiene asíntotas verticales y por qué ocurren?

A. En ángulos donde cos(θ) = 0, porque allí la función no está definida

B. En ángulos donde sin(θ) = 0, porque allí la tangente es cero

C. En ángulos donde sin(θ) = cos(θ), porque la función alcanza su máximo

D. En ángulos donde tan(θ) = 1, porque las funciones se igualan

Answer: (A)

Explicación

Las asíntotas verticales de la tangente ocurren en ángulos donde el coseno se hace cero, porque en esos puntos la función no está definida y tiende a infinito.

7. ¿Qué función se obtiene si dividimos el seno por el coseno de un ángulo?

A. Tangente (tan)

B. Cotangente (cot)

C. Secante (sec)

D. Cosecante (csc)

Answer: (A)

Explicación

Dividir seno por coseno da la función tangente, que representa la razón entre el lado opuesto y el adyacente en un triángulo rectángulo, y es fundamental en muchas aplicaciones trigonométricas.

8. ¿Qué carácter describe mejor a las funciones seno y coseno en términos de su periodicidad?

A. Repetición en intervalos de 2π

B. Repetición en intervalos de π/2

C. No son periódicas, sino lineales

D. Repetición en intervalos de π

Answer: (A)

Explicación

Las funciones seno y coseno son funciones periódicas con período 2π, lo que significa que sus valores se repiten cada 2π, permitiendo modelar fenómenos cíclicos en diversas ciencias.

9. ¿Qué diferencia principal tiene la función tangente respecto a seno y coseno en términos de su gráfica?

A. Tiene asíntotas verticales y líneas donde no está definida

B. Es siempre positiva y no tiene asíntotas

C. Es una función lineal, a diferencia de seno y coseno que son periódicas

D. Su período es más largo, de 4π

Answer: (A)

Explicación

La tangente presenta asíntotas verticales en los puntos donde cos(θ) = 0, diferenciándose claramente de las gráficas periódicas y continuas de seno y coseno.