Quiz: Géométrie, fonctions et suites fondamentales — 20 questions

1. Dans un repère vectoriel, quelle relation donne le produit scalaire de deux vecteurs non nuls en fonction de leurs normes et de l’angle qui les sépare ?

A. Le produit de leurs coordonnées multiplié par l’angle

B. Le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l’angle

C. La somme de leurs normes multipliée par le sinus de l’angle

D. La différence de leurs normes multipliée par le cosinus de l’angle

Answer: (B)

Explanation

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls s’écrit bien comme le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l’angle entre eux. Les autres propositions mélangent des notions de normes, coordonnées ou trigonométrie sans correspondre à la définition.

2. Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires de sens contraire ?

A. L’opposé du produit de leurs normes

B. Leur somme

C. Zéro

D. Le produit de leurs normes

Answer: (A)

Explanation

Deux vecteurs colinéaires de sens contraire forment un angle égal à π, donc le cosinus vaut -1 et le produit scalaire est l’opposé du produit de leurs normes. La réponse zéro correspond à l’orthogonalité.

3. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées u(x;y) et v(x';y') ?

A. xx' + yy'

B. x + x' + y + y'

C. xx' - yy'

D. x'y + xy'

Answer: (A)

Explanation

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par xx' + yy'. C’est la formule directe donnée pour les coordonnées.

4. Quelle formule donne la norme d’un vecteur u(x;y) dans un repère orthonormé ?

A. √(x² + y²)

B. |x| + |y|

C. √(x + y)

D. x² + y²

Answer: (A)

Explanation

La norme d’un vecteur de coordonnées (x;y) est égale à la racine carrée de x² + y². Les autres expressions ne donnent pas la longueur euclidienne du vecteur.

5. Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leur produit scalaire est nul

B. Lorsque leurs normes sont égales

C. Lorsque leurs coordonnées sont toutes positives

D. Lorsque leur déterminant est nul

Answer: (A)

Explanation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. Le déterminant nul caractérise au contraire la colinéarité en dimension 2.

6. Que traduit l’égalité det(u,v)=0 pour deux vecteurs du plan ?

A. Les vecteurs sont colinéaires

B. Les vecteurs ont même norme

C. Les vecteurs sont orthogonaux

D. Les vecteurs forment un angle de 60°

Answer: (A)

Explanation

Dans le plan, det(u,v)=0 équivaut à la colinéarité des vecteurs. Ce n’est pas un critère d’orthogonalité, qui se reconnaît avec le produit scalaire nul.

7. Pour un trinôme du second degré f(x)=ax²+bx+c avec a≠0, quelle expression donne le discriminant ?

A. b² - 4ac

B. a² - 4bc

C. 4ac - b²

D. b² + 4ac

Answer: (A)

Explanation

Le discriminant d’un trinôme ax²+bx+c est Δ = b² - 4ac. Il sert à déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation associée.

8. Que se passe-t-il pour l’équation ax²+bx+c=0 lorsque le discriminant est strictement négatif ?

A. Elle admet une racine double

B. Elle admet deux solutions réelles distinctes

C. Elle admet une solution entière

D. Elle n’admet aucune solution réelle

Answer: (D)

Explanation

Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution réelle. Une racine double apparaît seulement quand Δ=0, et deux racines réelles distinctes quand Δ>0.

9. Résoudre une inéquation du type f(x)≤c revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles quelle expression est négative ou nulle ?

A. f(x) + c

B. f(x) - c

C. f(x) × c

D. c - f(x) uniquement

Answer: (B)

Explanation

On transforme f(x)≤c en f(x)-c≤0, donc il faut étudier quand l’expression est négative ou nulle. C’est la méthode standard de résolution.

10. Quelle est l’ensemble solution de l’inéquation x²>4 ?

A. x=-2 ou x=2

B. x<-2 ou x>2

C. -2≤x≤2

D. x≤-2 ou x≥2

Answer: (B)

Explanation

L’inéquation x²>4 équivaut à |x|>2, donc x<-2 ou x>2. Les bornes ne sont pas incluses car l’inéquation est stricte.

11. Quelle forme caractérise une fonction affine ?

A. f(x)=ax^2+bx+c

B. f(x)=ax+b

C. f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

D. f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}

Answer: (B)

Explanation

Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x)=ax+b, avec a coefficient directeur et b ordonnée à l’origine. Les autres expressions correspondent à un trinôme, une fraction rationnelle ou une forme canonique.

12. Quelle transformation correspond à une baisse de 20 % d’un prix initial ?

A. Multiplier le prix par 0,2

B. Ajouter 20 au prix initial

C. Multiplier le prix par 0,8

D. Multiplier le prix par 1,2

Answer: (C)

Explanation

Une baisse de 20 % revient à multiplier par 1−0,20, donc par 0,8. Multiplier par 1,2 correspondrait au contraire à une hausse de 20 %.

13. Que représente la dérivée d’une fonction en un point ?

A. L’ordonnée à l’origine de la courbe

B. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point

C. L’abscisse du sommet de la courbe

D. La valeur moyenne de la fonction sur un intervalle

Answer: (B)

Explanation

La dérivée en un point mesure le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. C’est donc une information locale sur la pente de la courbe.

14. Si la tangente à la courbe au point d’abscisse 2 est horizontale, quelle est la valeur de la dérivée en 2 ?

A. 1

B. 2

C. 0

D. -1

Answer: (C)

Explanation

Une tangente horizontale a pour coefficient directeur nul, donc la dérivée vaut 0. La dérivée traduit précisément la pente de la tangente.

15. Que permet de lire le signe de la dérivée d’une fonction sur un intervalle ?

A. L’abscisse de tous ses zéros

B. La valeur exacte du maximum de la fonction

C. La valeur de son coefficient directeur initial

D. Les variations de la fonction sur cet intervalle

Answer: (D)

Explanation

Le signe de la dérivée indique si la fonction croît ou décroît sur l’intervalle. Dans le cours, on obtient ainsi le tableau de variations.

16. Pour une fonction bénéfice quadratique positive entre ses deux zéros, sur quel intervalle l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice strict si ces zéros sont 20 et 80 ?

A. 20<q<80

B. q≤20 ou q≥80

C. q=20 ou q=80

D. q<20 ou q>80

Answer: (A)

Explanation

Un bénéfice strict correspond à B(q)>0, donc à l’intervalle situé entre les deux racines du trinôme. Ici, cela donne 20<q<80.

17. Quelle formule donne la probabilité de B sachant A lorsque P(A) n’est pas nul ?

A. P_A(B)=P(A)+P(B)

B. P_A(B)=P(A\cap B)×P(A)

C. P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)

D. P_A(B)=P(B)/P(A)

Answer: (C)

Explanation

La probabilité conditionnelle de B sachant A est le rapport entre l’intersection et la probabilité de A. C’est la définition fondamentale de P_A(B).

18. Si deux événements A et B sont indépendants, quelle relation est vraie ?

A. P_A(B)=1-P(B)

B. P_A(B)=0

C. P(A\cap B)=P(A)+P(B)

D. P(A\cap B)=P(A)×P(B)

Answer: (D)

Explanation

L’indépendance signifie que la réalisation de l’un n’influence pas l’autre, ce qui se traduit par le produit des probabilités. Les autres propositions correspondent à des cas différents ou faux.

19. Si une suite est définie par u_n=2^n+3, quelle est la valeur de u_1 ?

A. 4

B. 7

C. 5

D. 6

Answer: (C)

Explanation

En remplaçant n par 1, on obtient u_1=2^1+3=5. La formule est explicite, donc on calcule directement le terme demandé.

20. Si u_0=-5 et u_{n+1}=2u_n+1, quelle est la valeur de u_1 ?

A. -9

B. -10

C. -4

D. -8

Answer: (A)

Explanation

On applique la relation de récurrence à n=0 : u_1=2×(-5)+1=-9. Il faut d’abord multiplier u_0 par 2, puis ajouter 1.