Introduction à la Analyse Mathématique

📋 Plan du Cours

1. Fonction logarithme n´epérien
2. Dérivées et variations
3. Limites et asymptotes
4. Intégration par parties
5. Systèmes d’équations linéaires
6. Probabilités conditionnelles
7. Nombres complexes et affixes
8. Transformation géométrique complexe
9. Géométrie dans l’espace
10. Courbes paramétrées et intersections
11. Barycentres et centres de gravité
12. Problèmes combinatoires et probabilistes

📖 1. Fonction logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien (ln x) : Fonction inverse de l'exponentielle $e^x$, définie pour $x > 0$. Elle vérifie $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.

• Propriétés fondamentales :

  • $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour $a, b > 0$.
  • $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ pour $a, b > 0$.
  • $\ln 1 = 0$.

• Dérivée de ln x : $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$.

• Limites :

  • $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
  • $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

• Croissance : La fonction $\ln x$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

📝 Points essentiels

• La fonction $\ln x$ est définie uniquement pour $x > 0$ et est continue et dérivable sur cet intervalle.

• La croissance de $\ln x$ est lente : elle tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$, mais très lentement.

• La dérivée $\frac{1}{x}$ est positive pour $x > 0$, ce qui confirme que $\ln x$ est strictement croissante.