Introduction à la récurrence et ses applications

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Plan du Cours

  1. Raisonnement par récurrence
  2. Illustration des dominos
  3. Principe de récurrence
  4. Somme des entiers naturels
  5. Suite définie par récurrence
  6. Encadrement et croissance de u_n

1. Raisonnement par récurrence

Notions clés & Définitions

  • Dominos : Métaphore où la chute d’un domino entraîne la chute du suivant pour garantir un résultat pour toute une chaîne.
  • Propriété P(n) : Notation d’une propriété qui dépend d’un entier naturel n et qu’on veut montrer vraie à partir d’un certain rang.
  • Vérification initiale : Étape où l’on démontre que P(n0) est vraie pour amorcer la chaîne de raisonnement.

Points essentiels

  • Pour conclure que P(n) est vraie pour tout n ≥ n0, on combine un point de départ et une preuve de passage de k vers k+1.
  • La logique de l’approche repose sur le fait que la chute du kème entraîne celle du (k+1)ème.
  • Le cours demande de viser une propriété P(n) formulée en fonction de n avant de faire l’amorçage puis la hérédité.

Astuce mémo

Dominos = départ (1er tombe) puis relais (k tombe ⇒ k+1 tombe).

2. Illustration des dominos

Notions clés & Définitions

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Quiz preview

1. Dans un raisonnement par récurrence, quelle étape permet d’amorcer la démonstration en établissant la propriété au rang de départ ?

2. Quel schéma logique décrit correctement le cœur d’un raisonnement par récurrence ?

3. Dans l’illustration des dominos, que représente le fait de supposer qu’un domino de rang k tombe ?

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Flashcards preview

Raisonnement par récurrence — rôle ?

Prouver une propriété pour tous n ≥ n0.

Illustration dominos — principe clé ?

Chute d’un domino entraîne celle du suivant.

Principe de récurrence — étape initiale ?

Vérification de P(n0).

Somme des entiers — formule ?

n(n+1)/2 pour n ≥ 1.

Suite récurrente — définition ?

Définie par une relation entre termes consécutifs.

Encadrement de u_n — objectif ?

Montrer 0 < u_n < 3 pour tout n.

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Frequently asked questions

What does the revision sheet on Introduction à la récurrence et ses applications cover?

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How many questions are in the Introduction à la récurrence et ses applications quiz?

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