Quiz: Introduction aux dérivées et variations — 14 questions

1. Quelle description correspond à une sécante à une courbe ?

A. La droite passant par deux points distincts de la courbe

B. La droite tangente en un seul point de la courbe

C. La droite verticale passant par l’ordonnée du point

D. La courbe obtenue après un agrandissement local

Answer: (A)

Explanation

Une sécante relie deux points distincts de la courbe, et sa pente se calcule avec le quotient des variations. La tangente, elle, correspond à une position limite quand les deux points se rapprochent.

2. Comment évolue la sécante quand un point mobile de la courbe se rapproche d’un point fixe ?

A. Elle devient forcément verticale

B. Elle tend vers la tangente en ce point

C. Elle coupe la courbe en un seul point

D. Elle garde une pente constante égale à zéro

Answer: (B)

Explanation

La tangente est définie comme la position limite des sécantes lorsque le point mobile se rapproche du point de tangence. Ce n’est pas une droite verticale en général, ni une pente nulle par défaut.

3. Que représente le nombre dérivé f'(a) d’une fonction en un point ?

A. La valeur de la fonction au point d’abscisse a

B. La pente de la sécante entre deux points quelconques

C. L’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées

D. Le coefficient directeur de la tangente en abscisse a

Answer: (D)

Explanation

Le nombre dérivé en a est défini comme la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. La pente d’une sécante concerne deux points, pas le nombre dérivé.

4. Si la tangente en x = 3 a pour coefficient directeur 2, que vaut f'(3) ?

A. 5

B. 0

C. 2

D. 3

Answer: (C)

Explanation

Par définition, f'(3) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 3. Si cette pente vaut 2, alors le nombre dérivé vaut 2.

5. Quelle est l’équation réduite d’une tangente au point d’abscisse a, si elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées ?

A. y = f'(a)(x - a) + f(a)

B. y = f(a)(x - a) + f'(a)

C. y = f'(a)x + f(a)

D. y = (x - a) + f(a)

Answer: (A)

Explanation

L’équation d’une tangente s’écrit avec la pente f'(a) et le point de contact (a, f(a)) : y = f'(a)(x - a) + f(a). Les autres propositions permutent ou omettent ces éléments.

6. Dans l’équation y = -2(x - 1) + 5, quelle est l’ordonnée du point de tangence ?

A. 5

B. -2

C. 1

D. 3

Answer: (A)

Explanation

Dans la forme point-pente, le terme ajouté après la multiplication est f(a), donc l’ordonnée du point de tangence est 5. Le nombre -2 correspond à la pente.

7. Dans un modèle où t représente le temps, que signifie f'(a) ?

A. La vitesse moyenne sur tout l’intervalle

B. La distance totale parcourue jusqu’à l’instant a

C. La vitesse instantanée à l’instant t = a

D. Le temps nécessaire pour atteindre l’instant a

Answer: (C)

Explanation

Quand la variable est le temps, le nombre dérivé f'(a) s’interprète comme la vitesse instantanée à l’instant a. La vitesse moyenne serait un quotient sur un intervalle, pas une dérivée.

8. Si une droite tangente a pour équation y = -1/2 t + 4, quelle est la vitesse instantanée de disparition correspondante ?

A. 4

B. -4

C. 1/2

D. -1/2

Answer: (D)

Explanation

La vitesse instantanée correspond au coefficient directeur de la tangente. Ici, la pente est -1/2, ce qui traduit une disparition de valeur négative.

9. Quand une fonction est-elle dérivable sur un intervalle I ?

A. Lorsqu’elle est strictement positive sur I

B. Lorsqu’elle admet un nombre dérivé en tout point de I

C. Lorsqu’elle coupe l’axe des abscisses en un seul point

D. Lorsqu’elle possède une tangente horizontale en tout point

Answer: (B)

Explanation

Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle admet un nombre dérivé en chaque point de cet intervalle. Cela ne dépend pas du signe de la fonction ni d’une tangente horizontale.

10. Que représente la fonction dérivée f' ?

A. La courbe obtenue en décalant la fonction vers le haut

B. L’application qui associe à chaque x la valeur f(x)

C. La pente unique commune à toutes les tangentes

D. L’application qui associe à chaque x le nombre dérivé f'(x)

Answer: (D)

Explanation

La fonction dérivée associe à chaque x du domaine le nombre dérivé f'(x), c’est-à-dire la pente de la tangente au point d’abscisse x. Elle ne renvoie pas la valeur de la fonction elle-même.

11. Quelle est la dérivée de la fonction définie par f(x)=x^2+x ?

A. f'(x)=x+2

B. f'(x)=2x+1

C. f'(x)=2x

D. f'(x)=x^2+1

Answer: (B)

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de x^2 est 2x et celle de x est 1, donc f'(x)=2x+1. Les autres propositions oublient une règle ou dérivent mal l’un des termes.

12. Quelle est la dérivée de la fonction définie par g(x)=4x^3 ?

A. g'(x)=4x^2

B. g'(x)=12x^3

C. g'(x)=12x^2

D. g'(x)=x^3

Answer: (C)

Explanation

On applique la règle du produit par un réel : la dérivée de 4x^3 est 4 fois la dérivée de x^3, soit 4×3x^2=12x^2. L’erreur classique est d’oublier le coefficient 3 issu de la dérivation de x^3.

13. Que permet de conclure le fait que f'(x)3e=0 sur tout un intervalle I ?

A. La fonction f est décroissante sur I

B. La fonction f est constante sur I

C. La fonction f admet une tangente verticale sur I

D. La fonction f est croissante sur I

Answer: (D)

Explanation

Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque sa dérivée y est non négative partout. La décroissance correspond au signe non positif, et la constance au fait que la dérivée est nulle partout.

14. Pour la fonction f(x)=x^3, quelle propriété de variation est correcte ?

A. f est croissante sur R car f'(x)=3x^2

B. f est constante sur R car f'(x)=0

C. f est décroissante sur R car f'(x)=3x

D. f est croissante seulement pour x>0

Answer: (A)

Explanation

On a f'(x)=3x^2, et 3x^2 est toujours positif ou nul, donc f est croissante sur tout R. La proposition avec 3x confond la dérivée de x^3 avec celle d’une autre fonction.