Revision sheet: Introduction aux fonctions fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Fonction affine
2. Fonction carré
3. Fonction inverse
4. Fonction racine carrée
5. Fonction cube
6. Parité des fonctions

📖 1. Fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = mx + p$, où $m, p \in \mathbb{R}$. Elle représente une droite dans le plan.
• Coefficient directeur (pente) $m$ : Nombre qui indique l'inclinaison de la droite. Si $m > 0$, la droite monte ; si $m < 0$, elle descend.
• Ordonnée à l'origine $p$ : Point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées ($y$-axe).
• Fonction linéaire : Cas particulier de la fonction affine avec $p=0$, donc $f(x) = mx$. La droite passe par l'origine.
• Fonction constante : Cas particulier avec $m=0$, donc $f(x) = p$. La représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation $y = mx + p$.
• La pente $m$ détermine l'inclinaison : plus $m$ est grand, plus la droite est inclinée.
• La droite coupe l'axe des ordonnées en $(0, p)$.
• Cas particuliers :
  • Si $p=0$, la droite passe par l'origine (fonction linéaire).
  • Si $m=0$, la droite est horizontale (fonction constante).
• La fonction affine peut être représentée graphiquement en utilisant deux points, par exemple en calculant $f(x)$ pour deux valeurs de $x$.

💡 À retenir

La fonction affine est une droite dont la pente et l'ordonnée à l'origine déterminent sa position et son inclinaison dans le plan. Elle modélise des relations linéaires simples, avec ou sans décalage par rapport à l'origine.

📖 2. Fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^2$. Elle associe à chaque réel son carré.
• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : La courbe de $f(x) = x^2$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car $f(-x) = f(x)$.
• Solutions de l'équation $x^2 = a$ :
  • Si $a < 0$, pas de solution réelle.
  • Si $a = 0$, solution unique $x=0$.
  • Si $a > 0$, deux solutions $x = \pm \sqrt{a}$.
• Fonction paire : $f(-x) = f(x)$. La fonction carré est paire.
• Domaine de définition : $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• La fonction carré est définie sur tout $\mathbb{R}$ et sa courbe est une parabole ouverte vers le haut.
• La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui traduit la propriété de parité.
• La résolution graphique de $x^2 = a$ dépend du signe de $a$ :
  • Pas de solution si $a<0$,
  • Solution unique si $a=0$,
  • Deux solutions si $a>0$.
• La fonction carré est une fonction paire, ce qui implique que ses valeurs sont identiques pour $x$ et $-x$.

💡 À retenir

La fonction carré est une fonction paire, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, dont la courbe est une parabole. Elle permet de résoudre graphiquement des équations du type $x^2 = a$, en fonction du signe de $a$.

📖 3. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Fonction définie sur ℝ* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par f(x) = 1/x. Elle associe à chaque réel non nul son inverse multiplicatif.
• Domaine de définition : ℝ* (tous les réels sauf 0), car f(x) = 1/x n’est pas définie en 0.
• Image : ℝ* (tous les réels sauf 0), puisque pour tout x ≠ 0, f(x) ≠ 0.
• Propriété fondamentale : f est une fonction paire si f(-x) = f(x), mais ici f(x) = 1/x est impaire car f(-x) = -1/x = -f(x).
• Antécédent : Pour un y ≠ 0, l’antécédent est x = 1/y.
• Equation caractéristique : f(x) = y ⇔ x = 1/y, pour y ≠ 0.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie sur ℝ* et n’a pas de valeur en 0.
• La courbe représentative est une hyperbole, symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).
• La fonction inverse est une bijection entre ℝ* et ℝ*.
• Pour résoudre f(x) = y, on calcule x = 1/y, sauf si y = 0 (pas d’antécédent).
• La fonction inverse est impaire : f(-x) = -f(x), ce qui implique symétrie par rapport à l’origine.
• La fonction inverse est souvent utilisée pour illustrer la notion de fonction bijective et de symétrie.

💡 À retenir

La fonction inverse, définie sur ℝ* par f(x) = 1/x, est une fonction impaire dont la courbe est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine, essentielle pour comprendre la bijection et la symétrie dans les fonctions.

📖 4. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : Fonction définie sur l'intervalle [0, +∞[ par $f(x) = \sqrt{x}$. Elle associe à chaque nombre réel non négatif son racine carrée positive.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie, ici $[0, +\infty[$.
• Image : Ensemble des valeurs que peut prendre la fonction, ici $[0, +\infty[$ car $\sqrt{x} \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.
• Propriété de croissance : La fonction est strictement croissante sur son domaine.
• Symétrie : La fonction n’est pas paire ni impaire, elle est uniquement définie pour $x \geq 0$.

📝 Points essentiels

• La racine carrée est la fonction inverse de l’élévation au carré sur l’intervalle [0, +∞[.
• La fonction n’est pas définie pour $x < 0$.
• La représentation graphique est une courbe qui commence en (0,0) et s’élève lentement vers l’infini, avec une croissance plus lente que linéaire.
• La fonction est continue, strictement croissante, et dérivable sur $]0, +\infty[$.
• Résolution d’équations : $\sqrt{x} = a$ a pour solution $x = a^2$ si $a \geq 0$.

💡 À retenir

La fonction racine carrée relie chaque nombre non négatif à sa racine positive, avec une croissance lente et une courbe dont la forme caractéristique est une branche de parabole limitée à $x \geq 0$.

📖 5. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : Fonction définie sur ℝ par f(x) = x³. Elle associe à chaque réel son cube.
• Fonction impaire : Fonction f telle que f(-x) = -f(x) pour tout x dans le domaine. La fonction cube est une fonction impaire.
• Symétrie par rapport à l’origine : La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine (rotation de 180°).
• Représentation graphique : La courbe de f(x) = x³ passe par l’origine et est symétrique par rapport à l’origine.
• Résolution d’équations : Résoudre x³ = a revient à extraire la racine cubique de a, avec une solution unique pour tout a ∈ ℝ.

📝 Points essentiels

• La fonction cube est définie sur ℝ et est une fonction impaire.
• La courbe de f(x) = x³ est symétrique par rapport à l’origine, ce qui signifie que f(-x) = -f(x).
• La représentation graphique passe par l’origine et présente une croissance rapide pour x positif ou négatif.
• Résolution d’équations : x³ = a admet une unique solution x = ∛a dans ℝ.
• La fonction est continue, strictement croissante, et possède une dérivée f'(x) = 3x², toujours positive.

💡 À retenir

La fonction cube est une fonction impaire dont la courbe est symétrique par rapport à l’origine, permettant une résolution simple des équations de la forme x³ = a grâce à la racine cubique.

📖 6. Parité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ telle que $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ telle que $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$. La courbe est symétrique par rapport à l'origine.
• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : Si $f$ est paire, alors $f(-x) = f(x)$.
• Symétrie par rapport à l'origine : Si $f$ est impaire, alors $f(-x) = -f(x)$.
• Exemples : La fonction $f(x) = x^3$ est impaire ; la fonction $f(x) = x^2$ est paire.

📝 Points essentiels

• La parité d'une fonction se détermine par la relation entre $f(-x)$ et $f(x)$.
• La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
• La fonction $f(x) = x^3$ est un exemple de fonction impaire, vérifiant $f(-x) = -f(x)$.
• La fonction $f(x) = x^2$ est un exemple de fonction paire, vérifiant $f(-x) = f(x)$.

💡 À retenir

La parité d'une fonction se traduit par une symétrie géométrique : paire par rapport à l'axe des ordonnées, impaire par rapport à l'origine. La vérification se fait via les relations $f(-x) = f(x)$ ou $f(-x) = -f(x)$.

📊 Tableaux de Synthèse

Fonction	Forme / Définition	Symétrie	Domaine	Particularités
Fonction affine	$f(x) = mx + p$	Aucune (pas forcément)	$\mathbb{R}$	Droite, pente $m$, ordonnée à l’origine $p$
Fonction linéaire	$f(x) = mx$	Symétrie par rapport à l’origine	$\mathbb{R}$	Passe par l’origine, $p=0$
Fonction constante	$f(x) = p$	Symétrie par rapport à une droite horizontale	$\mathbb{R}$	Droite horizontale
Fonction carré	$f(x) = x^2$	Paire ($f(-x)=f(x)$)	$\mathbb{R}$	Parabole, symétrie axe des ordonnées
Fonction racine carrée	$f(x) = \sqrt{x}$	Ni paire ni impaire	$[0, +\infty[$	Croissance lente, domaine limité à $\ge 0$
Fonction cube	$f(x) = x^3$	Impaire ($f(-x)=-f(x)$)	$\mathbb{R}$	Symétrie origine, croissante sur $\mathbb{R}$
Fonction inverse	$f(x) = 1/x$	Impaire ($f(-x)=-f(x)$)	$\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus\{0\}$	Hyperbole, bijection, symétrie origine

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la fonction affine avec la fonction linéaire ou constante.
2. Oublier que la fonction carré est paire, ce qui influence la résolution graphique.
3. Confondre la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (paire) et par rapport à l’origine (impaire).
4. Croire que la fonction racine carrée est définie sur $\mathbb{R}$, alors que son domaine est $[0, +\infty[$.
5. Confondre la fonction inverse avec une fonction linéaire ou affine.
6. Ignorer que la fonction cube est impaire, ce qui explique sa symétrie par rapport à l’origine.
7. Ne pas vérifier le domaine lors de la résolution d’équations impliquant ces fonctions.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction affine et donner sa forme générale.
2. Expliquer la signification du coefficient directeur $m$ dans une fonction affine.
3. Identifier si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
4. Décrire la symétrie de la courbe d’une fonction paire.
5. Décrire la symétrie de la courbe d’une fonction impaire.
6. Résoudre graphiquement une équation du type $x^2 = a$.
7. Résoudre une équation impliquant une fonction inverse, par exemple $1/x = y$.
8. Déterminer le domaine et l’image de la fonction racine carrée.
9. Expliquer la différence entre la fonction carré et la fonction racine carrée.
10. Identifier la courbe de la fonction cube et sa symétrie.
11. Vérifier si une fonction donnée est paire ou impaire en utilisant la définition.
12. Résoudre une équation du type $x^3 = a$ en utilisant la racine cubique.