Introduction aux matrices en algèbre linéaire

1. 📌 L'essentiel

• Une matrice est un tableau de coefficients aij, de taille n×p.
• La matrice carrée (n×n) peut être inversible si son déterminant ≠ 0.
• somme de matrices se fait coefficient par coefficient : (A + B).
• Le produit par un réel : kA = (k × ai,j).
• Le produit matriciel (AB) : ci,j = Σ (ai,k × bk,j), défini si colonnes de A = lignes de B.
• La puissance : Ap+1 = Ap × A, avec A0 = In.
• La matrice inverse A−1 : existe si det(A) ≠ 0, et AB=BA=In.
• La résolution d’un : X = A−1 B, si A inversible.
• La propriété fondamentale : associativité du produit, distributivité, identité neutre.
• La méthode de Gauss-Jordan pour calculer l’inverse.
• La formule 2×2 : A−1 = (1/det(A)) × (d −b ; −c a) si det(A) ≠ 0.
• La nilpotence : J^n=0 pour une matrice nilpotente J.