Revision sheet: Introduction aux probabilités et arbres de décision

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et notations
2. Tableau croisé et probabilités
3. Arbre de probabilités

📖 1. Vocabulaire et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers Ω : L’univers Ω représente l’ensemble de tous les résultats possibles, appelé aussi total général.
• Probabilité P(A) : La probabilité P(A) mesure la chance que l’événement A se réalise.
• Complément Ā : Le complément Ā est l’événement contraire de A, c’est ce qui se produit quand A ne se réalise pas.
• Intersection A ∩ B : L’intersection A ∩ B correspond aux cas où A et B se réalisent en même temps.
• Union A ∪ B : L’union A ∪ B correspond aux cas où A se réalise, ou B se réalise, ou les deux.

📝 Points essentiels

• Le complément vérifie P(Ā)=1−P(A) et permet de passer de A à son contraire.
• Le symbole ∩ signifie “en même temps” et sert à calculer P(A ∩ B) avec les bonnes cases.
• Le symbole ∪ signifie “au moins un” et conduit à la formule P(A ∪ B)=P(A)+P(B)−P(A ∩ B).

💡 Astuce mémo

Union = somme moins le double comptage : P(A ∪ B)=P(A)+P(B)−P(A ∩ B).

📖 2. Tableau croisé et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Un tableau croisé organise des effectifs par deux critères (par exemple genre et régime) et permet de calculer des probabilités par lectures de cases.
• Probabilité simple : Une probabilité simple est obtenue en divisant un total partiel par le total général.
• Probabilité d’intersection ∩ (dans un tableau) : Une probabilité d’intersection se lit dans la case à l’intersection des deux catégories et se divise par le total général.
• Probabilité conditionnelle P_F(I) : Une probabilité conditionnelle P_F(I) se lit comme la probabilité d’I sachant que l’on est dans la catégorie F, avec un univers réduit au total de F.

📝 Points essentiels

• Le dénominateur des probabilités “dans le tableau” est le total général 200.
• Exemple : P(F)=80/200=0,4 et P(F ∩ I)=30/200=0,15 se calculent à partir des effectifs de la ligne et de la case croisée.
• Exemple de conditionnelle : P_F(I)=30/80=0,375 car on restreint l’univers à la ligne des Filles.
• Dans l’arbre correspondant, les probabilités conditionnelles apparaissent au deuxième niveau après avoir choisi la première catégorie.

💡 Astuce mémo

Tableau : hors-condition → total général ; condition → total de la catégorie imposée (ligne ou colonne).

📖 3. Arbre de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle des nœuds : La règle des nœuds impose que la somme des probabilités des branches issues du même nœud vaut 1.
• Règle des branches : La règle des branches dit que la probabilité d’un chemin s’obtient par le produit des probabilités rencontrées.
• Règle des probabilités totales : La règle des probabilités totales relie la probabilité d’un événement final à la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

📝 Points essentiels

• Règle des nœuds : au nœud des Filles, 30/80 + 50/80 = 1.
• Règle des branches : P(F ∩ I)=P(F)×P_F(I)=80/200×30/80=30/200 et on retrouve la valeur du tableau.
• Règle des probabilités totales : P(B) est la somme des probabilités des deux chemins menant à B, soit P(A ∩ B)+P(Ā ∩ B).
• Dans l’exemple, le premier niveau correspond aux probabilités simples P(F)=80/200 et P(G)=120/200, puis les probabilités conditionnelles au deuxième niveau.

💡 Astuce mémo

Chemin = produit ; même nœud = 1 ; événement final = somme des chemins.

📊 Tableaux de synthèse

Lecture tableau vs arbre

Situation	Dénominateur	Résultat
Probabilité simple (tableau)	Total général 200	P(F)=80/200
Intersection (tableau)	Total général 200	P(F ∩ I)=30/200
Conditionnelle (tableau)	Total de la ligne F = 80	P_F(I)=30/80
Chemin (arbre)	Produit des probabilités du chemin	P(F ∩ I)=80/200×30/80

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ∩ et ∪ : ∩ signifie “les deux en même temps” tandis que ∪ signifie “au moins un des deux”.
2. Oublier le bon dénominateur : une conditionnelle n’a pas le total général, mais le total de la catégorie imposée.
3. Faire une union sans soustraire P(A ∩ B) : sinon on compte deux fois les cas où A et B se réalisent ensemble.
4. Utiliser la règle des branches avec des probabilités non conditionnelles : au deuxième niveau, il faut bien les probabilités conditionnelles.
5. Croire que la somme des branches vaut 1 au niveau du graphe entier : la règle des nœuds s’applique aux branches issues du même nœud.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire P(Ā)=1−P(A) pour passer de A à son contraire.
2. Savoir lire et utiliser A ∩ B comme “en même temps” et A ∪ B comme “au moins un”.
3. Savoir calculer P(A ∪ B)=P(A)+P(B)−P(A ∩ B) quand l’intersection est connue.
4. Savoir déterminer un dénominateur de probabilité simple dans un tableau croisé (total général).
5. Savoir calculer une intersection dans un tableau en lisant la case (deux catégories) puis en divisant par le total général.
6. Savoir calculer une probabilité conditionnelle du type P_F(I) en prenant comme univers le total des F.
7. Savoir interpréter l’arbre : premier niveau = probabilités simples et deuxième niveau = probabilités conditionnelles.
8. Savoir appliquer la règle des nœuds : la somme des branches issues d’un même nœud vaut 1.
9. Savoir appliquer la règle des branches : probabilité d’un chemin = produit des probabilités rencontrées.
10. Savoir appliquer la règle des probabilités totales : un événement final = somme des probabilités des chemins qui y mènent.
11. Être capable de vérifier qu’un calcul d’intersection issu de l’arbre retombe sur la valeur donnée par le tableau.