Quiz: Introduction aux séries numériques et critères de convergence — 9 questions

1. Qu'est-ce qu'une série numérique en analyse mathématique?

A. Une somme finie de termes numériques.

B. Une fonction définie par une série de termes numériques.

C. Une somme infinie de termes numériques.

D. Une suite de nombres sans somme associée.

Answer: (C)

Explanation

Une série numérique est la somme infinie de termes, notée généralement ∑ n≥0 un. Elle diffère d'une suite car elle concerne la somme de tous ses termes, potentiellement infinie, et son étude porte sur sa convergence ou divergence.

2. Quelle série est connue pour diverger malgré sa limite de terme général tendant vers zéro ?

A. La série géométrique avec r=1/2

B. La série harmonique ∑ 1/n

C. La série ∑ 1/n^2

D. La série alternée avec un|un| décroissant vers 0

Answer: (B)

Explanation

La série harmonique ∑ 1/n diverge même si le terme général tend vers 0, illustrant que cette condition seule ne garantit pas la convergence.

3. Selon le critère de d’Alembert, une série ∑ un converge si :

A. Le limite de la somme partielle Un lorsque n tend vers l'infini est finie.

B. Le limite de un+1 / un lorsque n tend vers l'infini est inférieur à 1.

C. Le limite de un lorsque n tend vers l'infini est zéro.

D. Le limite de un lorsque n tend vers l'infini est une constante non nulle.

Answer: (B)

Explanation

Le critère de d’Alembert stipule que si lim (un+1 / un) = ℓ et que ℓ < 1, alors la série converge. Si ℓ > 1, elle diverge. Si ℓ = 1, le critère ne donne pas d'information définitive.

4. Selon le critère de d’Alembert, si lim (un+1 / un) = ℓ, quand la série converge-t-elle ?

A. Si ℓ > 1

B. Si ℓ = 1

C. Si ℓ < 1

D. Si ℓ ≥ 1

Answer: (C)

Explanation

Le critère de d’Alembert indique que la série converge si le limite de la ratio est strictement inférieur à 1.

5. Quelle est la condition de convergence de la série géométrique ∑ ar^n?

A. Elle converge si |r| > 1.

B. Elle converge si a > 0.

C. Elle converge si |r| < 1.

D. Elle converge si a < 0.

Answer: (C)

Explanation

La série géométrique ∑ ar^n converge si et seulement si le module de r est strictement inférieur à 1, c'est-à-dire |r| < 1. Sa somme est alors donnée par a / (1 - r). Si |r| ≥ 1, la série diverge.

6. Quelle est la condition de convergence pour la série ∑ 1/n^a ?

A. Elle converge si a < 1

B. Elle converge si a > 1

C. Elle converge si a = 1

D. Elle converge pour tout réel a

Answer: (B)

Explanation

La série ∑ 1/n^a converge si et seulement si a > 1, d’après le critère de convergence des séries p.

7. Quelle caractéristique distingue une série géométrique de somme explicite ?

A. Elle converge si |r|>1

B. Elle a une somme donnée par a / (1 - r) lorsque |r|<1

C. Elle ne dépend pas de r

D. Elle converge toujours, quelle que soit r

Answer: (B)

Explanation

Une série géométrique Σ ar^n converge si |r|<1, et sa somme est donnée par a / (1 - r).

8. Quel critère utilise la limite de n×u_{1/n} pour déterminer la divergence ou la convergence ?

A. Le critère de d’Alembert

B. Le critère de Cauchy

C. Le critère de Leibniz pour séries alternées

D. Le critère de comparaison

Answer: (B)

Explanation

Le critère de Cauchy stipule que la série diverge si lim n→∞ n×u_{1/n} > 1.

9. Quelle condition est nécessaire pour qu’une série alternée converge selon le critère de Leibniz ?

A. Les termes absolus |un| doivent être croissants et tendant vers 0

B. Les termes |un| doivent être décroissants et tendant vers 0

C. Les termes un doivent être positifs et croissants

D. Les termes un doivent être nuls après un certain rang

Answer: (B)

Explanation

Le critère de Leibniz exige que |un| décroisse vers 0 pour assurer la convergence d’une série alternée.