Les bornes et la convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Bornes supérieures et inférieures
2. Caractérisation bornes supérieures
3. Caractérisation bornes inférieures
4. Exemple ensemble [3,5]
5. Suites monotones et convergence

📖 1. Bornes supérieures et inférieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure (sup(A)) : La plus petite des majorants d’un ensemble A non vide. C’est le plus petit nombre α tel que ∀a ∈ A, a ≤ α.
  Caractérisation : α = sup(A) ⇔ ∀ε > 0, ∃aε ∈ A : α - ε < aε ≤ α, et α n’est pas majorant strictement inférieur à lui-même.

• Majorant : Un nombre M ∈ ℝ tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.
  Remarque : Si A est majoré, sup(A) existe.

• Borne inférieure (inf(A)) : La plus grande des minorants d’un ensemble A non vide. C’est le plus grand nombre β tel que ∀a ∈ A, β ≤ a.
  Caractérisation : β = inf(A) ⇔ ∀ε > 0, ∃aε ∈ A : β ≤ aε < β + ε, et β n’est pas minorant strictement supérieur à lui-même.

• Minorant : Un nombre m ∈ ℝ tel que ∀a ∈ A, m ≤ a.
  Remarque : Si A est minoré, inf(A) existe.

• Ensemble des majorants / minorants :

  • Majorants de A : {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, a ≤ x}
  • Minorants de A : {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, x ≤ a}

📝 Points essentiels