Lernzettel: Les suites arithmétiques et leur caractérisation

📋 Plan du Cours

1. Suite arithmétique et raison
2. Relation de récurrence
3. Différence constante et reconnaissance
4. Représentation graphique linéaire
5. Sens de variation

📖 1. Suite arithmétique et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont chaque passage au terme suivant se fait en ajoutant toujours le même nombre fixe.
• Raison de la suite : La raison d’une suite arithmétique est le nombre constant ajouté entre deux termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• La suite 𝑢 est arithmétique quand il existe un nombre 𝑟 tel que 𝑢(𝑛+1)=𝑢(𝑛)+𝑟 pour tout rang 𝑛.
• Exemple : 𝑢=(3;6;9;12;15;…) est arithmétique avec 𝑟=3.
• Exemple : 𝑣=(5;3;1;−1;−3;…) est arithmétique avec 𝑟=−2.
• La suite 𝑤=(5;10;15;20;24;…) n’est pas arithmétique car l’incrément entre deux termes n’est pas constant.

💡 Astuce mémo

Suite arithmétique = même “+𝑟” à chaque pas.

📖 2. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une relation de récurrence exprime un terme en fonction du terme précédent via une formule valable pour tout rang.
• Différence consécutive : La différence entre deux termes consécutifs est l’expression 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛), qui permet de tester la constance.

📝 Points essentiels

• Si 𝑢 est arithmétique de raison 𝑟, alors pour tout rang 𝑛 on a 𝑢(𝑛+1)=𝑢(𝑛)+𝑟.
• Pour 𝑢0=1 et 𝑟=2, la relation devient 𝑢(𝑛+1)=𝑢(𝑛)+2.
• Pour 𝑣0=10 et 𝑟=−3, la relation devient 𝑣(𝑛+1)=𝑣(𝑛)−3.
• Une suite est arithmétique si et seulement si 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛) est constant pour tout 𝑛.
• Si 𝑢(𝑛)=4𝑛+5, alors 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛)=4 donc la raison vaut 𝑟=4.
• Si 𝑣(𝑛)=𝑛²+1, alors 𝑣(1)−𝑣(0)=1 et 𝑣(2)−𝑣(1)=3, donc la différence n’est pas constante.

💡 Astuce mémo

Tester l’arithmétique : calculer 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛) et vérifier qu’elle ne bouge pas.

📖 3. Différence constante et reconnaissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence constante : Une différence constante est une valeur fixe de 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛) pour tous les rangs, caractéristique d’une suite arithmétique.
• Reconnaître une suite arithmétique : Reconnaître une suite arithmétique consiste à vérifier que l’écart entre deux termes consécutifs reste identique.

📝 Points essentiels

• Pour reconnaître une suite arithmétique, on compare les différences successives 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛).
• Pour 𝑢(𝑛)=4𝑛+5, on obtient 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛)=4 pour tout 𝑛, donc la suite est arithmétique.
• Pour 𝑣(𝑛)=𝑛²+1, les différences calculées à 𝑛=0 et 𝑛=1 valent 1 puis 3, donc la suite n’est pas arithmétique.
• La suite 𝑤=(5;10;15;20;24;…) illustre un changement d’incrément, donc l’arithmétique échoue.

💡 Astuce mémo

Différences qui “se répètent” ⇒ suite arithmétique ; différences qui “changent” ⇒ non.

📖 4. Représentation graphique linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une suite : La représentation graphique d’une suite consiste à placer des points correspondant aux valeurs de 𝑛 et de 𝑢(𝑛).
• Nuage de points alignés : Un nuage de points alignés est un ensemble de points placés sur une même droite sur le graphique.

📝 Points essentiels

• Une suite est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique est un nuage de points alignés.
• Dans une suite arithmétique, la différence d’ordonnée entre deux points successifs est constante et égale à la raison 𝑟.
• On parle d’évolution linéaire quand l’écart vertical entre points successifs reste le même.
• Pour 𝑤(𝑛)=𝑛²+1, les points ne sont pas alignés, donc la suite n’est pas arithmétique.

💡 Astuce mémo

Alignement des points ⇔ raison constante ⇔ arithmétique.

📖 5. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur au précédent.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque chaque terme est inférieur au précédent.

📝 Points essentiels

• Si 𝑢 est arithmétique de raison 𝑟 et 𝑟>0, alors 𝑢 est croissante.
• Si 𝑢 est arithmétique de raison 𝑟 et 𝑟<0, alors 𝑢 est décroissante.
• Si 𝑟=0, tous les termes sont égaux et la suite est constante.
• Exemple : pour 𝑣 avec 𝑣0=10 et 𝑟=−3, la raison est négative donc la suite est décroissante.
• Exemple : pour 𝑢 avec 𝑢0=1 et 𝑟=2, la raison est positive donc la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Signe de 𝑟 = sens : 𝑟>0 monte, 𝑟<0 descend, 𝑟=0 égalité.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre raison 𝑟 et premier terme : le premier terme fixe le départ, la raison fixe l’écart entre consécutifs.
2. Croire qu’une suite est arithmétique parce que l’augmentation “a l’air régulière” sur quelques termes sans vérifier la constance de 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛).
3. Penser que 𝑛²+1 est arithmétique : les différences successives changent (par exemple 1 puis 3).
4. Inverser le sens : oublier que 𝑟>0 implique croissante et 𝑟<0 implique décroissante.
5. Oublier le cas 𝑟=0 : une raison nulle donne une suite constante, pas seulement “sans variation”.
6. Utiliser la représentation graphique sans vérifier l’alignement : un nuage non aligné signifie non-arithmétique.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une suite arithmétique et identifier la raison comme incrément constant.
2. Être capable d’écrire la relation de récurrence 𝑢(𝑛+1)=𝑢(𝑛)+𝑟 pour une suite arithmétique.
3. Savoir tester si une suite est arithmétique en calculant 𝑢(𝑛+1)−𝑢(𝑛) et en vérifiant sa constance.
4. Savoir reconnaître la non-arithmétique quand deux différences consécutives calculées sont différentes.
5. Être capable de déduire le sens de variation à partir du signe de 𝑟 : croissante, décroissante, constante.
6. Savoir relier la représentation graphique à l’arithmétique : points alignés ⇔ suite arithmétique.
7. Savoir interpréter la différence d’ordonnée entre points successifs comme la raison 𝑟.
8. Savoir traiter un exemple linéaire du type 4𝑛+5 en trouvant la raison 𝑟=4.
9. Savoir traiter un exemple non linéaire du type 𝑛²+1 en montrant que les différences ne sont pas constantes.
10. Être capable d’expliquer pourquoi une suite numérique donnée n’est pas arithmétique si l’incrément change à un rang.