Quiz: Logique des propositions — 9 questions

1. Pour réfuter la proposition « pour tout x appartenant à E, P(x) », que faut-il établir ?

A. Que P(x) est vraie pour quelques éléments de E

B. Que tous les éléments de E rendent P(x) fausse

C. Que l’ensemble E ne contient aucun élément

D. Qu’il existe un élément de E pour lequel P(x) est fausse

Answer: (D)

Explanation

Une proposition universelle est réfutée dès qu’un seul élément de l’ensemble E ne vérifie pas la propriété P. Il n’est donc pas nécessaire de montrer que la propriété est fausse pour tous les éléments.

2. Un élève affirme que, pour tout entier naturel n, une propriété P(n) est vraie. Quel résultat suffit à contredire son affirmation ?

A. L’absence de preuve que P(n) est vraie

B. Un entier naturel pour lequel P(n) est vraie

C. Plusieurs entiers naturels pour lesquels P(n) est vraie

D. Un entier naturel pour lequel P(n) est fausse

Answer: (D)

Explanation

Un seul contre-exemple, c’est-à-dire un entier naturel pour lequel P(n) est fausse, suffit à réfuter une affirmation universelle. Les autres résultats ne constituent pas nécessairement une réfutation.

3. Dans quelles conditions la disjonction « P ou Q » est-elle vraie ?

A. Lorsqu'exactement l’une de P ou Q est vraie

B. Lorsque P et Q sont toutes deux vraies

C. Lorsque P et Q sont toutes deux fausses

D. Lorsqu’au moins l’une de P ou Q est vraie

Answer: (D)

Explanation

La disjonction est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie. Elle est fausse uniquement lorsque P et Q sont toutes deux fausses, et n’exige donc pas qu’une seule soit vraie.

4. Pour un dé à six faces, P signifiant « le résultat est pair » et Q « le résultat est supérieur ou égal à 3 », quels résultats vérifient « P et Q » ?

A. 2 et 4

B. 4 et 6

C. 2, 3, 4, 5 et 6

D. 1, 2, 3, 4, 5 et 6

Answer: (B)

Explanation

La conjonction exige que les deux propositions soient vraies. Les résultats pairs et supérieurs ou égaux à 3 sont donc 4 et 6.

5. Que signifie l’implication « P implique Q » ?

A. Q est fausse lorsque P est vraie

B. Q est vraie lorsque P est vraie

C. P est vraie dès que Q est vraie

D. P et Q sont toujours toutes deux vraies

Answer: (B)

Explanation

L’implication P implique Q affirme que toute situation où P est vraie doit aussi rendre Q vraie. Elle n’exige pas que P soit effectivement vraie dans la situation considérée.

6. Dans l’implication « P implique Q », quels sont les rôles de P et de Q ?

A. P est une condition nécessaire de Q et Q une condition suffisante de P

B. P et Q sont chacune une condition suffisante de l’autre

C. P est une condition suffisante de Q et Q une condition nécessaire de P

D. P et Q sont chacune une condition nécessaire de l’autre

Answer: (C)

Explanation

Si P suffit pour garantir Q, alors P est une condition suffisante de Q. Inversement, Q doit être présente lorsque P l’est : Q est donc une condition nécessaire de P.

7. Quelle est la négation logique de l’implication « P implique Q » ?

A. Non-P ou Q

B. Non-P et Q

C. P et non-Q

D. P ou Q

Answer: (C)

Explanation

Une implication est fausse précisément lorsque P est vraie et Q est fausse. Sa négation est donc la conjonction P et non-Q.

8. Quelle relation logique caractérise l’équivalence entre deux propositions P et Q ?

A. Q implique P, mais P n’implique pas nécessairement Q

B. P implique Q, mais Q n’implique pas nécessairement P

C. P et Q sont toujours fausses simultanément

D. P implique Q et Q implique P

Answer: (D)

Explanation

P et Q sont équivalentes lorsque chacune implique l’autre. Une implication dans un seul sens ne suffit donc pas à établir une équivalence.

9. Que signifie l’expression « P si et seulement si Q » ?

A. P est une condition nécessaire de Q, sans être nécessairement suffisante

B. P et Q peuvent être vraies indépendamment l’une de l’autre

C. P et Q sont chacune nécessaires et suffisantes l’une pour l’autre

D. P est une condition suffisante de Q, sans être nécessairement nécessaire

Answer: (C)

Explanation

« Si et seulement si » exprime une nécessité et une suffisance réciproques : P implique Q et Q implique P. Une simple expression « si » ne donne qu’une implication dans un seul sens.