Quiz: Maîtrise du trinôme du second degré — 11 questions

1. Sous quelle forme s’écrit la forme canonique d’un trinôme ax² + bx + c ?

A. a(x - α)² + β

B. ax² + (b + c)x

C. (x - α)(x - β)

D. a(x + α)² - β

Answer: (A)

Explanation

La forme canonique d’un trinôme est a(x - α)² + β. Elle met en évidence le sommet de la parabole et permet d’étudier facilement les variations.

2. Quelle est la définition d’un trinôme du second degré ?

A. Une fonction affine de degré 1 avec une expression de la forme $ax+b$ où $a eq 0$.

B. Une fonction polynôme de degré 1 avec une expression de la forme $ax+b$ où $a eq 0$.

C. Une fonction polynôme de degré 2 avec une expression de la forme $ax^2+bx+c$ où $a eq 0$.

D. Une fonction polynôme de degré 3 avec une expression de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$ où $a eq 0$.

Answer: (C)

Explanation

Un trinôme du second degré est défini comme une fonction polynôme de degré 2, c’est-à-dire une expression de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a eq 0$. La réponse 2 correspond à cette définition, contrairement aux autres qui décrivent d’autres types de fonctions.

3. Quelle est la valeur de α dans la forme canonique d’un trinôme ax² + bx + c ?

A. (4ac - b²) / (4a)

B. b / (2a)

C. -c / a

D. -b / (2a)

Answer: (D)

Explanation

Le paramètre α vaut -b / (2a). La quantité (4ac - b²) / (4a) correspond, elle, à β.

4. Quelle est la condition essentielle pour qu'une expression soit considérée comme un trinôme du second degré ?

A. Elle doit être une fonction affine.

B. Elle doit être une expression en $x^3$.

C. Elle doit être une fonction du premier degré.

D. Elle doit contenir un terme en $x^2$ avec un coefficient non nul.

Answer: (D)

Explanation

Un trinôme du second degré doit contenir un terme en $ax^2$ avec $a eq 0$, ce qui le distingue des fonctions affines ou de degrés supérieurs.

5. Quelle expression définit un trinôme du second degré ?

A. Une expression de la forme ax⁴ + bx³ + c avec a différent de 0

B. Une expression de la forme ax + b avec a différent de 0

C. Une expression de la forme ax² + c avec a égal à 0

D. Une expression de la forme ax² + bx + c avec a différent de 0

Answer: (D)

Explanation

Un trinôme du second degré s’écrit sous la forme ax² + bx + c avec a différent de 0. La présence du terme en x² est indispensable ; une expression ax + b est affine.

6. Quel est le rôle principal de la forme canonique d’un trinôme dans l’étude de ses variations et de ses extremums ?

A. Faciliter le calcul du discriminant.

B. Permettre d’identifier rapidement le sommet de la parabole.

C. Déterminer la position relative de deux courbes.

D. Simplifier la factorisation du trinôme.

Answer: (B)

Explanation

La forme canonique, en mettant en évidence le sommet $( ext{α}, ext{β})$, facilite l’identification du point extrême de la parabole, qui correspond à l’extremum du trinôme.

7. Laquelle des fonctions suivantes est un trinôme du second degré ?

A. m(x) = 5x - 3

B. n(x) = 5x⁴ - 7x³ + 3x - 8

C. p(x) = 4

D. k(x) = (x - 4)(5 - 2x)

Answer: (D)

Explanation

En développant, (x - 4)(5 - 2x) donne une expression de la forme ax² + bx + c avec a différent de 0. Les autres propositions ne sont pas des fonctions du second degré.

8. Quand la formule du discriminant $ riangle=b^2-4ac$ a-t-elle été introduite dans l'étude des équations du second degré ?

A. Au XIXe siècle, par Augustin-Louis Cauchy.

B. Au XVIIIe siècle, par Leonhard Euler.

C. Au début du XIXe siècle, par Carl Friedrich Gauss.

D. Au XVIIe siècle, par René Descartes.

Answer: (B)

Explanation

La formule du discriminant a été formalisée au XVIIIe siècle dans le cadre de l'étude des équations quadratiques, notamment par Euler, pour déterminer le nombre de solutions réelles.

9. En quoi la formule du discriminant $ riangle=b^2-4ac$ diffère-t-elle de la formule de Viète pour déterminer les racines d’un trinôme du second degré ?

A. Le discriminant est utilisé pour déterminer la forme canonique, alors que Viète est utilisé pour calculer l’extremum.

B. Le discriminant concerne uniquement les solutions complexes, alors que Viète concerne uniquement les solutions réelles.

C. Le discriminant permet de factoriser le trinôme, alors que Viète sert uniquement à résoudre l’équation.

D. Le discriminant indique le nombre de solutions réelles, tandis que Viète donne la somme et le produit des racines.

Answer: (D)

Explanation

Le discriminant $ riangle$ indique le nombre de solutions réelles d’un trinôme, alors que les formules de Viète donnent directement la somme et le produit des racines, qui peuvent être réelles ou complexes.

10. Qui est crédité de la formule permettant de déterminer la somme et le produit des racines d’un trinôme du second degré ?

A. Leonhard Euler

B. François Viète

C. Carl Friedrich Gauss

D. Isaac Newton

Answer: (B)

Explanation

La formule de Viète, qui relie la somme et le produit des racines d’un trinôme du second degré, a été formulée par le mathématicien français François Viète.

11. Quelles sont les conséquences de la variation du signe du discriminant $ riangle=b^2-4ac$ sur la position des courbes représentatives de deux fonctions quadratiques ?

A. Toutes ces réponses sont correctes.

B. Lorsque $ riangle>0$, les courbes se croisent en deux points distincts.

C. Lorsque $ riangle<0$, les courbes ne se croisent pas du tout.

D. Lorsque $ riangle=0$, les courbes sont tangentes en un seul point.

Answer: (A)

Explanation

Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles de l'équation quadratique, ce qui influence la position relative des courbes : deux intersections pour $ riangle>0$, une tangence pour $ riangle=0$, et aucune intersection pour $ riangle<0$.