Revision sheet: Mathématiques Session principale 2009

📋 Plan du Cours

1. Nombres complexes et intégrales
2. Géométrie dans l’espace
3. Probabilités conditionnelles
4. Fonctions et réciproques
5. Positions relatives et aires
6. Primitives et calcul d’aire
7. Fonction réciproque et symétrie

📖 1. Nombres complexes et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle si elle est dérivable sur cet intervalle et vérifie F'(x)=f(x) pour tout x de l’intervalle.

★ À maîtriser

• Une équation du second degré dans l’ensemble des nombres complexes peut être résolue à l’aide du discriminant et de ses racines complexes.

• Le calcul d’une intégrale définie s’effectue à partir d’une primitive en soustrayant sa valeur à la borne inférieure de sa valeur à la borne supérieure.

Compléments

• La représentation géométrique d’un nombre complexe associe sa partie réelle à l’abscisse et sa partie imaginaire à l’ordonnée dans le plan complexe.

📖 2. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Sphère S : La surface définie par $x^2+y^2+z^2-4y-2z+1=0$ est la sphère de centre I(0,2,1) et de rayon R=2.

★ À maîtriser

• Pour A(1,0,-1), B(1,3,5), C(-7,2,2) et H(-1,4,3), le produit vectoriel de \overrightarrow{HB} et \overrightarrow{HC} est un vecteur normal au plan (HBC).

📐 Formule — Une équation cartésienne du plan (HBC) est $x-2y-2z+15=0$.

📌 Si la distance du centre d’une sphère à un plan est supérieure au rayon, le plan ne coupe pas la sphère.

Compléments

📌 Une droite est tangente à une sphère lorsque la distance entre le centre de la sphère et la droite est égale au rayon.

📖 3. Probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

• Dans le modèle étudié, $p(M)=\frac{1}{3}$, $p(C\mid M)=0,8$ et $p(C\mid \overline{M})=0,75$.

📐 Formule — La probabilité de l’intersection de deux événements vérifie $p(C\cap M)=p(M)\,p(C\mid M)=\frac{4}{15}$.

📐 Formule — La formule des probabilités totales donne $p(C)=p(C\cap M)+p(C\cap\overline{M})=\frac{23}{30}$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle recherchée est $p(M\mid C)=\frac{p(C\cap M)}{p(C)}=\frac{8}{23}$.

Compléments

📐 Formule — On obtient $p(C\cap\overline{M})=p(\overline{M})p(C\mid\overline{M})=\frac{1}{2}$.

📖 4. Fonctions et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : La restriction g de f à [0,+∞[ est continue et strictement décroissante, et réalise une bijection de [0,+∞[ sur ]-∞,g(0)].

★ À maîtriser

• Comme 0 appartient à l’image de g et que g est bijective, l’équation f(x)=0 admet une solution unique α sur l’intervalle considéré.

Compléments

• Les valeurs g(1)>0 et g(1,5)<0 permettent, par le théorème des valeurs intermédiaires, de conclure que 1<α<1,5.

• Au voisinage de +∞, la courbe de f admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

📖 5. Positions relatives et aires

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence entre f(x) et x se factorise en $f(x)-x=(1+e^x)(1-x)$.

📌 Les courbes de f et de la droite y=x se rencontrent lorsque f(x)-x=0, donc pour x=1.

Compléments

• Pour étudier la position relative de deux courbes, on détermine le signe de la différence de leurs ordonnées puis on en déduit quelle courbe est au-dessus de l’autre.

📖 6. Primitives et calcul d’aire

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive F : La fonction $F(x)=x+(2-x)e^x$ est une primitive de $f(x)=1+e^x-xe^x$ sur ℝ.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’aire comprise entre la courbe de f et l’axe des abscisses sur [0,1] vaut $A=\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)=e-1,5$ unités d’aire.

Compléments

📐 Formule — Comme f(x)≥x sur ]-∞,1], l’aire entre les courbes correspond à $\int_0^1(f(x)-x)\,dx=e-1,5$ unités d’aire.

💡 Astuce mémo

Primitive puis différence aux bornes

📖 7. Fonction réciproque et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : G^{-1} échange les rôles des antécédents et des images d’une bijection g.

★ À maîtriser

• Les courbes représentatives d’une fonction et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite y=x.

Compléments

📐 Formule — Dans l’exercice, la relation entre l’aire étudiée et la fonction réciproque est $\int_{-1}^{1}g(x)\,dx=e-2$ unités d’aire.