Quiz: Séries entières : convergence et rayon — 10 questions

1. Comment appelle-t-on une série de fonctions dont chaque terme s’écrit sous la forme \(f_n(x)=a_nx^n\) sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ?

A. Une intégrale impropre

B. Une série entière

C. Une suite convergente

D. Une série trigonométrique

Answer: (B)

Explanation

Une série entière est précisément une série de fonctions de la forme \(\sum_{n\ge0} a_nx^n\). Les autres propositions ne correspondent pas à cette définition.

2. Que représentent les coefficients \(a_n\) dans l’écriture \(\sum_{n\ge0} a_nx^n\) d’une série entière ?

A. Des fonctions polynomiales

B. Des nombres complexes

C. Des réels strictement positifs

D. Des variables d’intégration

Answer: (B)

Explanation

Dans une série entière, les \(a_n\) sont les coefficients, et ils sont des nombres complexes. L’écriture met ensuite ces coefficients en facteur de \(x^n\).

3. Quel est le domaine de convergence d’une série entière ?

A. L’ensemble des \(x\) pour lesquels la série \(\sum_{n\ge0} a_nx^n\) converge

B. L’ensemble des coefficients \(a_n\) non nuls

C. L’ensemble des valeurs de \(n\) pour lesquelles \(a_nx^n\) est borné

D. L’ensemble des \(x\) pour lesquels \(a_n\to 0\)

Answer: (A)

Explanation

Le domaine de convergence est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles la série entière converge. C’est donc un ensemble de points, et non un ensemble d’indices ou de coefficients.

4. Quelle fonction est associée à la série entière \(\sum_{n\ge0} x^n\) sur son domaine de convergence réel ?

A. \(x\mapsto e^x\)

B. \(x\mapsto \ln(1-x)\)

C. \(x\mapsto \frac{1}{1+x}\)

D. \(x\mapsto \frac{1}{1-x}\)

Answer: (D)

Explanation

Sur \(]-1,1[\), la somme de \(\sum_{n\ge0} x^n\) vaut \(\frac{1}{1-x}\). L’exponentielle correspond à une autre série, \(\sum z^n/n!\).

5. Quelle condition du lemme d’Abel permet de conclure que \(\sum_{n\ge0} a_n z^n\) est absolument convergente pour \(|z|<|z_0|\) ?

A. Les coefficients \(a_n\) sont tous positifs

B. La suite des sommes partielles en \(z_0\) est bornée

C. On a \(|z|=|z_0|\)

D. La série converge déjà absolument en \(z\)

Answer: (B)

Explanation

Le lemme d’Abel suppose que les sommes partielles au point \(z_0\) sont bornées, puis en déduit la convergence absolue pour tout \(z\) tel que \(|z|<|z_0|\). La condition \(|z|=|z_0|\) n’est pas celle du résultat.

6. Si le lemme d’Abel s’applique en \(z_0\), quelle inégalité sur \(z\) assure la convergence absolue de la série ?

A. \(|z|<|z_0|\)

B. \(|z|>|z_0|\)

C. \(|z|=|z_0|\)

D. \(|z|\le 0\)

Answer: (A)

Explanation

La conclusion du lemme d’Abel porte précisément sur les points situés strictement à l’intérieur du disque de rayon \(|z_0|\). Les autres inégalités ne donnent pas cette conclusion.

7. Comment est défini le rayon de convergence \(R\) d’une série entière ?

A. Comme l’ensemble des \(x\) pour lesquels la série converge

B. Comme le plus petit entier pour lequel \(a_n=0\)

C. Comme la limite de \(a_n\) quand \(n\to\infty\)

D. Comme le supremum des \(r\ge 0\) tels que \((a_nr^n)_{n\ge0}\) reste bornée

Answer: (D)

Explanation

Le rayon de convergence est défini comme \(R=\sup\{r\ge0\mid (a_nr^n)_{n\ge0}\text{ est bornée}\}\). Ce n’est ni un ensemble ni une simple limite des coefficients.

8. Quel rayon de convergence a la série \(\sum_{n\ge0} x^n\) ?

A. \(1\)

B. \(+\infty\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Answer: (B)

Explanation

La série géométrique \(\sum x^n\) a un rayon de convergence infini. À l’inverse, \(\sum n!x^n\) a un rayon nul.

9. Que peut-on affirmer si une série entière de rayon \(R>0\) est évaluée en un réel ou complexe \(x\) tel que \(|x|<R\) ?

A. Son comportement dépend uniquement du signe de \(x\)

B. Elle converge absolument

C. Elle diverge grossièrement

D. Elle converge seulement si \(|x|=R\)

Answer: (B)

Explanation

Pour \(|x|<R\), une série entière converge absolument. La divergence grossière concerne au contraire le cas \(|x|>R\).

10. Que peut-il se passer pour une série entière au bord du disque, lorsque \(|x|=R\) ?

A. Elle diverge toujours grossièrement

B. Elle converge toujours absolument

C. Elle est forcément nulle

D. Elle peut converger ou diverger selon les coefficients

Answer: (D)

Explanation

Au bord \(|x|=R\), le cours indique que la série peut soit converger, soit diverger selon le cas. Il n’existe donc pas de règle unique dans cette situation.