Lernzettel: Suites arithmétiques et croissance linéaire

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et croissance linéaire
2. Exemples de suites quadratiques
3. Récurrence u(n+1)=u(n)+r
4. Formule explicite u(n)=u(0)+nr
5. Détermination du terme u(p) à partir de u(n
6. Sens de variation selon le signe de r
7. Exemples numériques avec r positif
8. Exemples numériques avec r négatif

📖 1. Suites arithmétiques et croissance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une même constante au terme précédent.
• Croissance linéaire : Évolution d’une suite où l’augmentation (ou la diminution) entre deux termes consécutifs est constante.
• Terme général : Expression qui donne la valeur de la suite en fonction de l’indice n.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, la différence u(n+1)−u(n) est constante et vaut r.
• La croissance est dite linéaire car l’écart entre deux termes consécutifs ne dépend pas de n.
• Le couple (n ; u(n)) permet de visualiser les valeurs de la suite pour différents indices.
• Les exemples donnés incluent u(n)=n^2, qui illustre des valeurs calculées pour plusieurs n, puis la partie suivante traite la croissance linéaire via une récurrence à pas constant r.
• Le cours relie la forme explicite u(n)=u(0)+nr à la croissance linéaire quand le pas r est constant.

💡 Astuce mémo

Pas constant : même “+r” à chaque marche.

📖 2. Récurrence u(n+1)=u(n)+r

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence : Relation qui définit un terme à partir du précédent, ici en ajoutant une constante r.
• r : Constante ajoutée à chaque étape pour passer de u(n) à u(n+1).
• Condition initiale u(0) : Valeur de départ de la suite qui permet de calculer tous les termes suivants.

📝 Points essentiels

• La relation de récurrence donnée est u(n+1)=u(n)+r.
• Le cours illustre l’idée de “n fois +r” à partir de u(0) pour obtenir u(n).
• Quand on applique la récurrence successivement, on obtient u(1)=u(0)+r, puis u(2)=u(0)+2r.
• L’exemple numérique utilise u(0)=−4 et r=2,5 pour calculer u(1) et u(2).
• Dans l’exemple, u(1)=−1,5 et u(2)=1, ce qui confirme l’ajout constant de r à chaque étape.

💡 Astuce mémo

u(n+1) : on ajoute r au terme précédent.

📖 4. Formule explicite u(n)=u(0)+nr

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Expression directe donnant u(n) en fonction de n, sans calculer tous les termes intermédiaires.
• u(n)=u(0)+nr : Forme d’une suite arithmétique où le terme dépend linéairement de n via le pas r.
• Indice n : Nombre d’étapes effectuées depuis la condition initiale pour atteindre le rang n.

📝 Points essentiels

• La formule explicite donnée est u(n)=u(0)+nr.
• Le cours relie la récurrence à la formule explicite via l’accumulation de r sur n étapes.
• Avec u(0)=−4 et r=2,5, on obtient u(n)=−4+2,5n.
• Le cours calcule u(12)=−4+2,5×12=26.
• Le cours calcule u(21)=−4+2,5×21=48,5.

💡 Astuce mémo

Explicite = départ + (nombre d’étapes)×(pas).

📖 5. Détermination du terme u(p) à partir de u(n

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme u(p) : Valeur de la suite au rang p, exprimée à partir d’un autre rang connu.
• Écart d’indices n−p : Différence entre deux indices qui mesure le nombre d’étapes entre u(p) et u(n).
• Relation entre deux termes : Formule reliant u(n) et u(p) grâce au pas r.

📝 Points essentiels

• La relation donnée est u(n)=u(p)+(n−p)r.
• On peut en déduire u(p) si u(n), n, p et r sont connus.
• Le cours donne aussi une forme particulière : u(n)=u(1)+(n−1)r.
• Cette relation repose sur l’idée que chaque pas ajoute r, donc l’effet total dépend de (n−p).
• Le cours utilise cette logique pour passer d’un rang à un autre dans une suite à pas constant.

💡 Astuce mémo

u(n) = u(p) + (écart)×r.

📖 6. Sens de variation selon le signe de r

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Direction du mouvement de la suite : elle augmente, diminue ou reste constante selon r.
• r>0 : Cas où le pas est positif, ce qui fait augmenter les termes successifs.
• r<0 : Cas où le pas est négatif, ce qui fait diminuer les termes successifs.
• r=0 : Cas où le pas est nul, donc tous les termes restent identiques.

📝 Points essentiels

• Si r>0 alors u(n)<u(n+1), donc la suite est strictement croissante.
• Si r<0 alors u(n)>u(n+1), donc la suite est strictement décroissante.
• Si r=0 alors u(n)=u(n+1), donc la suite est constante.
• Le cours relie directement le signe de r à la comparaison entre deux termes consécutifs.
• Les exemples numériques plus loin illustrent r positif puis r négatif avec des calculs de termes.

💡 Astuce mémo

Signe de r = signe de la pente : +→↑, −→↓, 0→plat.

📖 7. Exemples numériques avec r positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple r positif : Situation où le pas r est supérieur à 0, entraînant une augmentation des termes.
• u(n)=2,3+3,7n : Formule explicite d’une suite arithmétique avec pas positif 3,7.
• Pas 3,7 : Constante d’incrément qui détermine l’augmentation entre deux termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• Le cours présente une suite de la forme u(n)=2,3+3,7n.
• Dans cette forme, le pas r correspond à 3,7, donc r est positif.
• Le cours indique la comparaison u(n)<u(n+1) lorsque r>0.
• La logique de croissance vient de l’ajout constant d’un nombre positif à chaque étape.
• Les calculs de cette section servent à ancrer l’idée que l’indice n augmente la valeur de u(n) de façon linéaire.

💡 Astuce mémo

r=3,7 : chaque pas ajoute 3,7.

📖 8. Exemples numériques avec r négatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple r négatif : Situation où le pas r est inférieur à 0, entraînant une diminution des termes.
• v(n) : Suite notée v dans l’exemple, définie par une récurrence à pas constant négatif.
• r=-3 : Pas négatif utilisé dans l’exemple, responsable de la décroissance.

📝 Points essentiels

• Le cours donne une suite v avec v(0)=7 et r=−3.
• La récurrence est v(n+1)=v(n)+r, donc ici v(n+1)=v(n)−3.
• La formule explicite correspondante est v(n)=v(0)+nr=7−3n.
• Le cours illustre la décroissance via la comparaison u(n)>u(n+1) quand r<0 (même logique appliquée à v).
• Les valeurs de v se calculent en remplaçant n dans 7−3n, ce qui montre que plus n grandit, plus v diminue.

💡 Astuce mémo

r=−3 : on retire 3 à chaque étape.

📊 Tableaux de synthèse

Sens de variation selon r

Condition sur r	Comparaison	Sens
r>0	u(n)<u(n+1)	Croissante
r<0	u(n)>u(n+1)	Décroissante
r=0	u(n)=u(n+1)	Constante

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la suite quadratique u(n)=n^2 avec une suite arithmétique : dans une arithmétique, la différence entre termes consécutifs est constante (pas r).
2. Se tromper sur le signe : r positif donne u(n)<u(n+1), r négatif donne l’inverse.
3. Oublier que la formule explicite utilise u(0) : u(n)=u(0)+nr, pas u(1)+nr.
4. Mélanger les indices dans la relation u(n)=u(p)+(n−p)r : le facteur est (n−p), pas (p−n).
5. Calculer u(1) et u(2) sans appliquer correctement la récurrence u(n+1)=u(n)+r (exemple u(0)=−4, r=2,5).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une suite arithmétique et identifier le pas r à partir de la relation u(n+1)=u(n)+r.
2. Savoir calculer u(1) et u(2) à partir de u(0) et r en appliquant la récurrence.
3. Savoir utiliser la formule explicite u(n)=u(0)+nr pour calculer u(n) pour un n donné.
4. Savoir calculer des valeurs numériques comme u(12) et u(21) dans l’exemple u(0)=−4, r=2,5.
5. Savoir déterminer u(n) à partir d’un autre rang via u(n)=u(p)+(n−p)r et utiliser la forme u(n)=u(1)+(n−1)r.
6. Savoir donner le sens de variation en fonction du signe de r (croissante, décroissante, constante) via la comparaison entre u(n) et u(n+1).
7. Savoir traiter un exemple avec r positif (croissance) et un exemple avec r négatif (décroissance), notamment v(0)=7, r=−3 et v(n)=7−3n.