Lernzettel: Introduction à la commande numérique et transformée en Z

📋 Plan du Cours

1. Asservissement numérique et calculateur
2. Opérations de la commande numérique
3. Échantillonnage et reconstitution
4. Bloqueur d'ordre zéro
5. Transformée en Z des signaux
6. Propriétés et calculs en Z
7. Transmittance échantillonnée et boucle fermée
8. Transformée en Z inverse et équations

📖 1. Asservissement numérique et calculateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Calculateur numérique : Un dispositif numérique qui exécute des calculs et commande un système physique à partir de mesures discrètes.
• Flexibilité de la programmation : Propriété d’un asservissement numérique où la logique de commande peut être modifiée facilement en changeant des paramètres ou le code.
• Correcteurs ajustables : En asservissement numérique, des correcteurs peuvent être mis au point puis modifiés pour viser des objectifs de performance.
• CNA : Convertisseur Numérique Analogique qui permet de fournir au système un signal analogique issu d’un traitement numérique.
• CAN : Convertisseur Analogique Numérique qui transforme les valeurs prélevées sur un signal continu en nombres binaires.

📝 Points essentiels

• L’insertion d’un calculateur rend possible de réaliser des correcteurs facilement ajustables ou auto-ajustables.
• Les paramètres de commande peuvent être modifiés selon les objectifs visés dans un système numérique.
• Un asservissement numérique améliore la stabilité, la rapidité et la précision du système global.
• Le CNA convertit une commande numérique en sortie analogique du système.
• Le CAN attribue un nombre binaire aux valeurs issues de l’échantillonnage du signal.

📖 2. Opérations de la commande numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage : Opération qui transforme un signal continu en une suite discrète de ses valeurs prises aux instants $t=nT_e$.
• Quantification : Étape qui associe une valeur finie (sur un ensemble de niveaux) à chaque échantillon pour le représenter numériquement.
• Programmation : Phase où le calculateur exécute un traitement défini sur la suite d’échantillons pour produire une commande.
• Reconstitution : Opération visant à reconstruire un signal continu à partir du signal échantillonné traité numériquement.

📝 Points essentiels

• Une boucle de commande numérique exige quatre opérations : échantillonnage, quantification, programmation et reconstitution.
• L’échantillonnage produit la suite $f(0),f(T_e),f(2T_e),\dots$ notée en général $f^*(t)$ ou $f_k$.
• Le CAN réalise l’attribution binaire des valeurs prélevées lors de l’échantillonnage.
• La question centrale est de savoir si l’information du signal continu $f(t)$ peut être récupérée à partir de $f^*(t)$.
• La reconstitution nécessite un choix de $T_e$ adapté pour éviter une perte d’information spectrale.

📖 3. Échantillonnage et reconstitution

🔑 Notions clés & Définitions

• Période d’échantillonnage : Paramètre $T_e$ qui fixe la distance temporelle entre deux échantillons successifs du signal continu.
• Fréquence d’échantillonnage : Fréquence $F_e$ associée à $T_e$ et utilisée pour exprimer une condition de reconstitution du spectre.
• Recouvrement des spectres : Phénomène qui apparaît quand $F_e$ est trop faible et qui rend la reconstruction du spectre initial impossible.
• Filtre passe-bas : Filtre utilisé pour isoler le spectre initial à partir des copies spectrales générées par l’échantillonnage.

📝 Points essentiels

• L’échantillonnage duplique à l’infini le spectre fréquentiel du signal continu.
• Si $F_e>2F_{max}$, on peut reconstituer le spectre $F(f)$ à partir du spectre $F^*(f)$ en isolant le spectre initial avec un filtre passe-bas.
• Si $F_e<2F_{max}$, il y a recouvrement des spectres et la reconstruction de $F(f)$ à partir de $F^*(f)$ devient impossible.

📖 4. Bloqueur d'ordre zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Bloqueur d’ordre zéro : Dispositif qui maintient constante la valeur de l’échantillon pendant un intervalle de durée $T$.
• BOZ : Fonction de transfert du bloqueur d’ordre zéro notée $B_0(p)=1-e^{-Tp}$. / (développement dans le cours : $1-e^{-Tp}$ au numérateur et division par $p$).
• Échantillonneur : Élément qui prélève le signal d’entrée et alimente le bloqueur d’ordre zéro.
• Fonction échelon unitaire : Fonction notée $u(t)$ qui sert à exprimer le comportement temporel du BOZ via des différences d’échelons.

📝 Points essentiels

• Le bloqueur d’ordre zéro est modélisé par $b_0(t)=u(t)-u(t-T)$ avec $u(t)$ la fonction échelon unitaire.
• La fonction de transfert du BOZ est donnée par $B_0(p)=\dfrac{1-e^{-Tp}}{p}$.
• Dans le modèle continu → discret, le BOZ multiplie la dynamique continue avant la mise en forme échantillonnée via la transmittance discrète.

📖 5. Transformée en Z des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée en Z : Outil mathématique permettant de traiter des signaux échantillonnés via une variable complexe $z$.
• **Variable $z** : Paramètre de la transformée en Z défini par$z=e^{T_e p}$.
• Transformée en Z d’un signal échantillonné : Expression reliant $F(z)$ aux valeurs $f(nT_e)$ de la suite discrète.
• Transformée en Z inverse : Opération notant $Z^{-1}[F(z)]$ pour retrouver la suite $f(nT_e)$ à partir de $F(z)$.

📝 Points essentiels

• La transformée en Z d’un signal échantillonné s’écrit $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f(nT_e) z^{-n}$.
• En appliquant la TL au signal échantillonné $f^*(t)$, on obtient $F^*(p)=\sum_{n=0}^{\infty} f(nT_e)e^{-nT_e p}$.
• La variable complexe vérifie $z=e^{T_e p}$.
• Exemple d’impulsion : pour $f_4(t)=\delta(t)$, la transformée en Z est $F_4(z)=1$.

📖 6. Propriétés et calculs en Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Linéarité : Propriété où la transformée en Z d’une combinaison linéaire de signaux correspond à la combinaison linéaire des transformées.
• Translation temporelle : Propriété reliant la transformée en Z d’un signal retardé $f(t-kT_e)$ à $z^{-k}F(z)$.
• Valeur finale : Théorème reliant la limite de la suite à la valeur de $\dfrac{1}{1-z^{-1}}F(z)$ au voisinage de $z=1$.
• Valeur initiale : Théorème reliant la valeur au premier instant $n=0$ à la limite de $F(z)$ quand $z\to\infty$.

📝 Points essentiels

• La valeur finale vérifie $\lim_{n\to\infty} f(nT_e)=\lim_{z\to 1} \dfrac{1}{1-z^{-1}}F(z)$.
• La valeur initiale vérifie $\lim_{n\to 0} f(nT_e)=\lim_{z\to\infty}F(z)$.
• Le retard de $kT_e$ donne $T_Z\{f(t-kT_e)\}=z^{-k}F(z)$.
• Le changement d’échelle $g(nT_e)=a^n f(nT_e)$ conduit à $G(z)=F(\,z/a\,)$.
• La multiplication par le temps suit $g(t)=t f(t)$ et donne $G(z)=-zT_e\,\dfrac{dF(z)}{dz}$.

📖 7. Transmittance échantillonnée et boucle fermée

🔑 Notions clés & Définitions

• Transmittance échantillonnée : Transmittance discrète obtenue en remplaçant l’analyse continue par la mise en forme des valeurs aux instants d’échantillonnage.
• Transmittance en série : Composition de transmittances discrètes lorsque des blocs continus sont modélisés avec synchronisation par échantillonneurs.
• Transmittance en boucle fermée : Fonction reliant la sortie et l’entrée lorsque la sortie est renvoyée via une structure de commande en retour.
• BOZ synchronisé à l’entrée de sortie : Modélisation utilisée pour analyser uniquement les valeurs de sortie aux instants d’échantillonnage en plaçant un échantillonneur fictif.

📝 Points essentiels

• La transmittance échantillonnée s’écrit $G^*(p)=\dfrac{S^*(p)}{E^*(p)}$ et se note aussi $G(z)=\dfrac{S(z)}{E(z)}$.
• La transmittance en boucle fermée vérifie $\mathcal{Y}(z)=\dfrac{G(z)}{1+\widetilde{H}(z)G(z)}\,\mathcal{E}(z)$.
• En boucle fermée, la relation de sortie s’écrit $\mathcal{Y}(z)=G(z)\mathcal{E}(z)$ avec un terme de correction dans le dénominateur $1+\widetilde{H}(z)G(z)$.
• Le modèle continu muni d’un BOZ se traite en calculant d’abord $G(p)=BOZ(p)M(p)$ puis en passant en $G(z)$.

📖 8. Transformée en Z inverse et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation aux différences : Relation de récurrence entre $S(n)$ et des retards $S(n-1)$, $S(n-2)$, etc., obtenue depuis une forme rationnelle en Z.
• Méthode de l’équation aux différences : Procédure qui reconstruit la suite en appliquant directement la relation temporelle implicite dans $F(z)$.
• Développement en fractions élémentaires : Décomposition de $F(z)$ en somme de termes simples pour en déduire $f(nT_e)$.
• Division selon les puissances croissantes de $z^{-1}$ : Technique d’expansion d’une fonction rationnelle en série en $z^{-1}$ avant lecture terme à terme de la suite.

📝 Points essentiels

• La transformée en Z inverse permet de retrouver $f(nT_e)$ à partir de $F(z)$.
• Une méthode pratique consiste à utiliser l’équation aux différences du type $S(n)\,=\,a_1 S(n-1)+a_2 S(n-2)+\cdots$ plus des termes d’entrée.
• Pour le système de la partie BOZ : avec $G(z)=\dfrac{0,2z+0,885}{z^2-1,67z+0,67}$ et $K=45$, on obtient $F(z)=\dfrac{2\,0,2z}{1+\cdots}$ sous la forme donnée et une équation aux différences de $S(n)$.
• La valeur finale de la sortie peut être obtenue par $\lim_{n\to\infty} S(nT_e)=\lim_{z\to 1} (1- z^{-1})^{-1}S(z)$ via la procédure du cours.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre échantillonnage et quantification : l’échantillonnage produit une suite discrète à $t=nT_e$, tandis que la quantification associe des niveaux représentables.
2. Choisir $T_e$ (ou $F_e$) trop grand et croire qu’on peut toujours reconstruire : si $F_e<2F_{max}$, le recouvrement empêche la reconstitution du spectre initial.
3. Se tromper sur la variable $z$ : la relation donnée est $z=e^{T_e p}$, et non $z=e^{p/T_e}$.
4. Utiliser une propriété de valeur finale au mauvais contexte : elle s’écrit avec $\dfrac{1}{1-z^{-1}}F(z)$ et vise la limite de la suite $f(nT_e)$.
5. Intervertir BOZ et échantillonneur : le BOZ maintient une valeur pendant $T$, alors que l’échantillonneur prélève une valeur instantanée.
6. Oublier les conditions initiales pour résoudre une équation aux différences : elles sont nécessaires pour déterminer la suite à partir de $F(z)$ ou de $Y(z)/U(z)$.
7. Confondre $G(z)=S(z)/E(z)$ (transmittance échantillonnée) et la transmittance en boucle fermée qui modifie le dénominateur via $1+\widetilde{H}(z)G(z)$.

✅ Checklist Examen

1. Décrire en une phrase les 4 opérations d’une commande numérique : échantillonnage, quantification, programmation et reconstitution.
2. Donner la définition d’un échantillonnage avec les instants $t=nT_e$ et la forme de suite associée.
3. Énoncer la condition spectrale de reconstitution : $F_e>2F_{max}$ avec filtre passe-bas et l’échec si $F_e<2F_{max}$.
4. Écrire l’expression temporelle du BOZ via la différence d’échelons $b_0(t)=u(t)-u(t-T)$ et sa forme en transformée de transfert $B_0(p)$.
5. Écrire la définition de la transformée en Z d’un signal échantillonné $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f(nT_e)z^{-n}$ et la relation $z=e^{T_e p}$.
6. Utiliser au moins une propriété clé en Z : translation $z^{-k}$, valeur finale, valeur initiale, multiplication par le temps ou changement d’échelle.
7. Calculer une transmittance échantillonnée en reliant $S(z)$ et $E(z)$ et identifier le rôle de $G(z)=S(z)/E(z)$.
8. Appliquer la formule de boucle fermée pour obtenir la sortie à partir de $G(z)$ et du retour $\widetilde{H}(z)$ via le dénominateur $1+\widetilde{H}(z)G(z)$.
9. En cas de $F(z)$ rationnelle, choisir une méthode pour retrouver la suite $f(nT_e)$ : équation aux différences ou expansion en $z^{-1}$.
10. Déterminer une limite de suite (valeur finale) en utilisant la limite en $z\to 1$ avec $\dfrac{1}{1-z^{-1}}F(z)$.