Le fait que le test de dépistage est positif
Erklärung
L’évènement T correspond au test de dépistage positif. L’évènement M désigne, lui, le fait d’être atteint par le chikungunya.
Environ 0,99
Erklärung
La probabilité cherchée est P(M|T), calculée comme P(M∩T)/P(T), ce qui donne environ 0,991. C’est donc bien supérieur à 0,95, ce qui traduit une bonne fiabilité du test dans ce contexte.
0,994p + 0,005
Erklärung
On additionne les vrais positifs et les faux positifs, ce qui conduit à P(T)=0,999p+0,005(1-p)=0,994p+0,005. Les autres expressions ne traduisent pas correctement cette décomposition.
0,087
Erklärung
En résolvant l’inégalité, on obtient p > 0,0868, soit environ 0,087. Au-delà de ce seuil, la proportion de vrais malades parmi les tests positifs dépasse 0,95.
1-(0,64)^n
Erklärung
Comme la probabilité qu’un individu ne soit pas infecté vaut 0,64, la probabilité de n’avoir aucun infecté est (0,64)^n. Donc P(X≥1)=1-(0,64)^n.
11
Erklärung
On résout 1-0,64^n>0,99, ce qui donne n>10,32. Le plus petit entier convenable est donc 11.
v_{n+1}=\tfrac12 v_n
Erklärung
La récurrence de u_n se transforme en v_{n+1}=\tfrac12 v_n, ce qui montre que (v_n) est géométrique. Sa raison est donc 1/2.
20
Erklärung
Comme \left(\tfrac12\right)^n tend vers 0, le terme 10\left(\tfrac12\right)^n s’annule à la limite. La suite (u_n) converge donc vers 20.
Faire exactement n mises à jour au lieu d’une de plus
Erklärung
Le programme doit effectuer exactement n mises à jour pour calculer w_n. Une boucle avec un tour de trop renvoie w_{n+1} au lieu de w_n.
w_n=10n\left(\tfrac12\right)^n+11\left(\tfrac12\right)^n+34
Erklärung
La formule obtenue est w_n=10n\left(\tfrac12\right)^n+11\left(\tfrac12\right)^n+34. Comme les deux premiers termes s’éteignent, on en déduit aussi que w_n tend vers 34.
Parce que son vecteur directeur est proportionnel au vecteur normal du plan P
Erklärung
Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. Ici, les vecteurs donnés sont proportionnels, ce qui établit l’orthogonalité.
J appartient à (CD) et le produit scalaire de overrightarrow{HJ} avec overrightarrow{CD} est nul
Erklärung
Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite tel que le segment joignant les deux points soit perpendiculaire à cette droite. Cela se traduit ici par l’appartenance de J à (CD) et par l’orthogonalité des vecteurs via le produit scalaire nul.
40
Erklärung
Comme f(0)=40 et que e^0=1, on obtient directement b=40. La valeur de a se détermine ensuite à partir de l’équation différentielle.
La fonction croît puis décroît, avec un changement de sens en t=4/3
Erklärung
Le facteur exponentiel étant toujours positif, le signe de f'(t) dépend de 40-30t. Cette expression s’annule en t=4/3, ce qui donne un maximum : f croît avant puis décroît après.
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Dépistage du chikungunya — définition ?
Test pour détecter la présence du virus.
Fiabilité — dépendance à la prévalence ?
Plus la prévalence est élevée, plus le test est fiable.
Loi binomiale — rôle ?
Modéliser le nombre de succès dans essais répétés.
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