Lernzettel: Modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein

📋 Plan du Cours

1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein
2. Arbitrage et Probabilités
3. Évolution binomiale d'un actif
4. Calcul de la prime d'option
5. Hedging et Delta
6. Extensions multi-périodes
7. Calcul u et d
8. Options américaines vs européennes
9. Application pratique du modèle

📖 1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Représentation discrète de l'évolution du prix d'un actif sous forme d'un arbre où chaque étape correspond à un mouvement "up" ou "down", permettant de modéliser la trajectoire possible du prix sur plusieurs périodes.

• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle calculée pour valoriser un actif en utilisant une mesure sous laquelle l'espérance du rendement de l'actif est le taux sans risque, indépendamment des probabilités réelles de mouvement (formule : $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$, selon Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

• Paramètres u et d (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Facteurs multiplicatifs représentant respectivement le mouvement "up" et "down" du prix de l'actif à chaque étape, estimés par $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$, où $\sigma$ est la volatilité.

• Hedging delta (∆) : Quantité d'actif sous-jacent à détenir pour neutraliser le risque d'une position sur une option, calculée à chaque étape pour assurer un portefeuille sans risque.

• Valeur temps (time value) : Composante du prix d'une option qui dépasse sa valeur intrinsèque, représentant l'incertitude et la possibilité de gain avant l'échéance, calculée via la méthode binomiale pour différentes périodes.

• Absence d'arbitrage (AAO) : Hypothèse fondamentale assurant qu'il n'existe pas de stratégie permettant un profit sans risque, impliquant que $d < 1 + r < u$ dans le modèle binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

📝 Points essentiels

• Le modèle binomial simplifie la complexité du mouvement des prix en discretisant le temps et en utilisant un arbre à deux branches par étape, permettant une approximation flexible du mouvement brownien sous-jacent.

• La formule de valorisation repose sur la construction d'un portefeuille sans risque combinant l'actif sous-jacent et une option, dont la valeur est actualisée au taux sans risque $r$.

• La probabilité risque-neutre $q$ intègre la volatilité $\sigma$ et la durée $\Delta t$, permettant de calculer l'espérance du prix futur sous une mesure neutre au risque.

• La méthode s'étend à plusieurs périodes en utilisant la formule multinomiale, avec une estimation de u et d basée sur la volatilité (voir tricks et extensions).

• La neutralité au risque est assurée par la sélection de la quantité delta $\Delta$ qui égalise les valeurs du portefeuille dans tous les états possibles.

• La formule de valorisation d'une option européenne dans le modèle binomial est :
  $c_0 = e^{-r \Delta t} \left[ q c_u + (1 - q) c_d \right]$ où $c_u$ et $c_d$ sont les valeurs de l'option dans les états "up" et "down".

💡 À retenir

Le modèle Cox-Ross-Rubinstein offre une approche simple et flexible pour évaluer les options en discretisant le temps et en utilisant un arbre binomial, tout en intégrant la notion de probabilité risque-neutre pour une valorisation cohérente et sans arbitrage.

📖 2. Arbitrage et Probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbitrage : Opportunité de réaliser un profit sans risque ni investissement initial, en exploitant des incohérences de prix sur différents marchés ou produits financiers. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

• Absence d'Arbitrage Opportunités (AAO) : Hypothèse fondamentale selon laquelle il n'existe pas de stratégie permettant un profit sans risque, garantissant la cohérence des prix des actifs financiers. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

• Probabilité Risque-Neutre (q) : Probabilité artificielle sous laquelle l'espérance du rendement de l'actif est égale au taux sans risque, utilisée pour évaluer la valeur des options dans le modèle binomial. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

• Modèle binomial : Modèle discret représentant l'évolution du prix d’un actif en plusieurs périodes, où à chaque étape le prix peut augmenter (u) ou diminuer (d) selon une probabilité q. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

• Triangulation de l’arbitrage : Technique consistant à établir une stratégie de couverture (hedging) pour éliminer le risque et déterminer le prix théorique d’un produit dérivé, en utilisant des portefeuilles composés d’actifs sous-jacents et d’options. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

• Hedging Delta : Stratégie de couverture consistant à ajuster la position dans l’actif sous-jacent (∆) pour neutraliser le risque associé à une option, en assurant un portefeuille sans risque. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

📝 Points essentiels

• L’arbitrage empêche l’existence de profits sans risque, ce qui impose des contraintes sur les prix des actifs : d < 1 + r < u en temps discret, et d < e^r∆t < u en temps continu (section 2.2).

• La probabilité risque-neutre (q) est calculée par la formule :
  $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
  où $u$ et $d$ représentent respectivement les facteurs d’augmentation et de diminution du prix de l’actif à chaque période.

• La valorisation d’une option dans le modèle binomial repose sur la construction d’un portefeuille sans risque (hedging), dont la valeur est calculée en actualisant l’espérance sous la probabilité risque-neutre :
  $c_0 = e^{-r \Delta t} \left( q c_u + (1 - q) c_d \right)$
  où $c_u$ et $c_d$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down".

• La stratégie de couverture (delta hedging) consiste à déterminer la quantité $\Delta$ d’actifs sous-jacents à détenir pour rendre le portefeuille insensible aux variations du prix de l’actif, en utilisant la formule :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_0 (u - d)}$

• La formule de l’espérance risque-neutre ne dépend pas des probabilités réelles de mouvement du marché, mais de la structure de marché et des taux d’intérêt, ce qui garantit la cohérence des prix dans le cadre du modèle sans arbitrage.

💡 À retenir

L’absence d’arbitrage impose des contraintes strictes sur la dynamique des prix et permet de calculer la probabilité risque-neutre, qui sert de base pour la valorisation cohérente des options via la méthode binomiale. La construction d’un portefeuille de couverture sans risque est essentielle pour déterminer le prix théorique d’un dérivé.

📖 3. Évolution binomiale d'un actif

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle binomiale : Modèle discret représentant l'évolution du prix d'un actif en plusieurs périodes, où à chaque étape le prix peut augmenter ou diminuer selon des probabilités spécifiques. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : "Une représentation simplifiée de l'évolution de l'actif sous forme d'arbre binomial".
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle utilisée pour valoriser l'option dans le cadre du modèle, calculée comme $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$. Elle n'est pas la probabilité réelle mais une probabilité de mesure neutre au risque. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Paramètres u et d : Facteurs multiplicatifs représentant respectivement la hausse (u) et la baisse (d) du prix de l'actif à chaque étape, estimés via la volatilité $\sigma$ : $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Arbre binomial : Représentation graphique de toutes les trajectoires possibles du prix de l'actif sur plusieurs périodes, illustrant la croissance ou la décroissance à chaque étape.
• Hedging par delta : Technique consistant à ajuster la quantité d'actifs détenus ($\Delta$) pour neutraliser le risque de variation du prix de l'actif sous-jacent, en utilisant la différence de valeurs d'options dans les états u et d. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Prix sans arbitrage : Prix de l'option déterminé par la valeur actualisée des gains attendus sous la probabilité risque-neutre, garantissant l'absence de profit sans risque. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

📝 Points essentiels

• La modélisation binomiale permet de représenter l'évolution du prix d’un actif sous forme d’arbre, avec deux mouvements possibles à chaque étape : hausse (u) ou baisse (d).
• La probabilité risque-neutre $q$ est calculée pour assurer l’évaluation sans arbitrage, indépendamment des probabilités réelles de mouvement.
• La formule de $u$ et $d$ est directement liée à la volatilité $\sigma$ : $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$, $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$.
• La valeur d’une option à une étape est calculée en remontant l’arbre, en utilisant la probabilité risque-neutre pour pondérer les scénarios futurs.
• La technique de delta-hedging consiste à ajuster la position en actif sous-jacent pour rendre le portefeuille insensible aux variations de prix, en utilisant la différence entre les valeurs d’option dans les états u et d.
• La formule de valorisation d’une option européenne dans le modèle binomiale est : $c_0 = e^{-r \Delta t} [q c_u + (1 - q) c_d]$, où $c_u$ et $c_d$ sont les valeurs de l’option dans les états u et d.
• La méthode s’étend à plusieurs périodes, permettant de modéliser l’évolution sur une durée T divisée en n intervalles, avec une recombinaison de l’arbre.
• La modélisation binomiale est une approximation du mouvement brownien continu, convergeant vers le modèle de Black-Scholes-Merton lorsque le nombre de périodes tend vers l’infini.

💡 À retenir

Le modèle binomiale, en représentant l’évolution du prix d’un actif sous forme d’arbre à deux branches, permet d’évaluer précisément les options en intégrant la notion de risque neutre et de hedging, tout en étant une approximation flexible du mouvement brownien continu.

📖 4. Calcul de la prime d'option

🔑 Notions clés & Définitions

• Prime d'une option : Montant payé par l'acheteur au vendeur pour acquérir le droit, mais non l'obligation, d'acheter ou vendre un actif à un prix fixé (strike) avant ou à l’échéance. La prime comprend la valeur intrinsèque et la valeur temps (voir Cox, Ross et Rubinstein (1979)).
• Valeur intrinsèque : Différence entre le prix de l’actif sous-jacent et le strike, si cette différence est positive pour un call (ou négative pour un put), sinon zéro.
• Modèle binomial : Approche discrète pour évaluer la prime d'une option en simulant l'évolution de l’actif sous-jacent à travers un arbre à plusieurs périodes, basé sur des probabilités de mouvement "up" ou "down" (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle utilisée dans le modèle binomial pour calculer la valeur attendue de l’option en actualisant au taux sans risque, indépendamment des probabilités réelles de mouvement (voir Black-Scholes-Merton).
• Hedging delta : Quantité d’actif sous-jacent à détenir pour neutraliser le risque de l’option dans une stratégie de couverture, calculée comme le ratio de variation du prix de l’option à celle de l’actif (voir Cox, Ross et Rubinstein (1979)).
• Arbitrage : Opportunité de réaliser un profit sans risque, absente dans le cadre du calcul de la prime d’option, permettant de déterminer une valeur cohérente (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

📝 Points essentiels

• La prime d'une option se décompose en valeur intrinsèque et valeur temps, cette dernière étant liée à la volatilité, la durée jusqu’à l’échéance, et autres paramètres du marché (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La méthode binomiale évalue la prime en construisant un arbre à plusieurs périodes, en calculant la valeur de l’option à chaque étape, en partant de l’échéance vers le début (backward induction).
• La probabilité risque-neutre $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$ permet de calculer la valeur attendue de l’option en actualisant au taux sans risque, indépendamment des probabilités réelles de mouvement (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La couverture delta est déterminée par la différence des valeurs de l’option dans les états "up" et "down" divisée par la différence de prix de l’actif sous-jacent dans ces états, permettant de neutraliser le risque (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La formule de la prime d’une option européenne dans le modèle binomial est :
  $c_0 = e^{-r \Delta t} \left( q c_u + (1 - q) c_d \right)$
  où $c_u$ et $c_d$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down" à l’échéance (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

💡 À retenir

La prime d’une option est calculée par la méthode binomiale en utilisant un arbre discret, la probabilité risque-neutre, et la stratégie de couverture delta, permettant d’évaluer la valeur de l’option sans arbitrage.

📖 5. Hedging et Delta

🔑 Notions clés & Définitions

• Delta (Δ) : Mesure de la sensibilité du prix d'une option par rapport à une variation de 1 unité du prix de l’actif sous-jacent. AUTEUR (1979) : "Le delta représente la pente de la courbe de l’option par rapport au prix de l’actif."
• Hedging delta (Delta hedging) : Technique consistant à ajuster la position dans l’actif sous-jacent pour neutraliser le risque de variation du prix de l’option. AUTEUR (1979) : "Le hedging delta vise à créer un portefeuille sans risque en ajustant la quantité d’actifs."
• Portfolio riskless (portefeuille sans risque) : Portfolio dont la valeur finale est indépendante des mouvements du marché, permettant d’utiliser le taux sans risque pour la valorisation. AUTEUR (1979) : "Le portefeuille riskless est essentiel pour la tarification sans arbitrage."
• Gamma (Γ) : Taux de variation du delta par rapport au prix de l’actif sous-jacent, indiquant la convexité de la valeur de l’option. AUTEUR (1979) : "Gamma mesure la sensibilité du delta à la variation du prix."
• Réplique (Replication) : Stratégie consistant à créer une position équivalente à l’option en combinant l’actif sous-jacent et d’autres instruments financiers. AUTEUR (1979) : "La réplication permet de déterminer le prix de l’option via un portefeuille sans risque."
• No-arbitrage (Absence d’arbitrage) : Hypothèse selon laquelle il n’existe pas de profit sans risque, garantissant la cohérence des modèles de tarification. AUTEUR (1979) : "L’absence d’arbitrage est la pierre angulaire de la tarification des options."

📝 Points essentiels

• La delta sert à ajuster la position dans l’actif sous-jacent pour couvrir le risque de mouvement du prix, permettant la mise en place d’un hedge efficace.
• La formule de delta dans le modèle binomial est :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{uS_0 - dS_0}$
  où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down".
• La technique de hedging delta consiste à détenir une quantité $\Delta$ de l’actif sous-jacent pour neutraliser le risque de variation du prix de l’option.
• La réplication d’une option par un portefeuille d’actifs sous-jacent et d’obligations permet de déterminer son prix sans arbitrage, en utilisant la formule :
  $c_0 = e^{-rT} \left( q c_{u} + (1 - q) c_{d} \right)$
  avec $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$.
• La Gamma indique la convexité de la valeur de l’option et influence la stratégie de hedging, notamment en gestion de portefeuille pour limiter les risques liés aux mouvements importants du marché.
• La technique de réplication repose sur l’hypothèse d’une absence d’arbitrage, garantissant que le prix de l’option peut être obtenu par la construction d’un portefeuille sans risque équivalent.

💡 À retenir

Le delta permet d’ajuster la position dans l’actif sous-jacent pour couvrir le risque de mouvement du prix de l’option, constituant la base du hedging efficace en finance. La stratégie de réplication, en combinant actif sous-jacent et obligations, repose sur l’absence d’arbitrage pour déterminer le prix de l’option.

📖 6. Extensions multi-périodes

🔑 Notions clés & Définitions

U et D (ou u et d) : Facteurs multiplicatifs représentant respectivement la hausse (u) ou la baisse (d) du prix de l’actif entre deux périodes dans un modèle binomial multi-périodes.
Cox, Ross et Rubinstein (1979) : Auteurs ayant proposé une formule pour estimer u et d en fonction de la volatilité σ et du temps entre périodes Δt, soit u = e^{σ√Δt} et d = e^{-σ√Δt}.
Modèle binomial multi-périodes : Extension du modèle à plusieurs périodes, permettant de représenter l’évolution de l’actif sur T = nΔt, avec chaque étape pouvant évoluer selon u ou d, et de calculer la valeur d’options européennes ou américaines à chaque étape.
Probabilités neutres au risque (q) : Probabilités artificielles utilisées pour valoriser les options dans le modèle binomial, calculées indépendamment de la probabilité réelle de mouvement, notamment q = (e^{rΔt} - d) / (u - d).
Recursion backward : Méthode de calcul de la valeur de l’option en remontant de l’échéance vers la date initiale, en utilisant la formule de valorisation attendue sous probabilité neutre, adaptée à chaque étape.
Hedging multi-périodes : Technique consistant à ajuster la position delta à chaque étape pour neutraliser le risque, en utilisant la formule Δ = (c_{u} - c_{d}) / (uS - dS), où c_{u} et c_{d} sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down".
Trucs et extensions : Approximations et méthodes avancées pour estimer u et d, notamment en utilisant la volatilité σ et la racine carrée du temps Δt, ou en considérant plusieurs périodes pour une meilleure précision.
Formule multinomiale : Expression permettant de calculer la valeur d’une option sur plusieurs périodes en utilisant la distribution binomiale, combinée avec la formule de probabilité multinomiale pour des chemins multiples.

📝 Points essentiels

• La construction d’un arbre binomial multi-périodes repose sur la répétition du processus à chaque étape, avec u et d estimés via la volatilité σ : u = e^{σ√Δt} et d = e^{-σ√Δt} (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La probabilité neutre q est calculée indépendamment de la probabilité réelle, ce qui permet de valoriser l’option en utilisant la formule :
  $c_0 = e^{-rΔt} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} q^{i} (1 - q)^{n-i} \max(S_0 u^{i} d^{n-i} - K, 0)$
• La méthode de backward induction permet de remonter l’arbre en calculant la valeur de l’option à chaque étape, en utilisant la formule de valorisation sans arbitrage.
• La technique de delta-hedging s’adapte à chaque étape pour neutraliser le risque, en ajustant la position en actifs sous-jacents selon Δ calculé à chaque étape.
• La précision de la modélisation augmente avec le nombre de périodes n, mais le coût computationnel aussi. La formule multinomiale permet de généraliser à plusieurs périodes.
• La formule de u et d dépend directement de la volatilité σ, ce qui relie le modèle à la réalité du marché et à la mesure du risque.

💡 À retenir

Les extensions multi-périodes du modèle binomial permettent une approximation précise de l’évolution des actifs et la valorisation d’options complexes, en utilisant des calculs récursifs et des estimations de u, d, et q basées sur la volatilité.

📖 7. Calcul u et d

🔑 Notions clés & Définitions

• u (up factor) : Facteur multiplicatif représentant la hausse du prix de l’actif dans une étape du modèle binomial. Selon Cox, Ross et Rubinstein (1979), u = e^{σ√Δt}, où σ est la volatilité et Δt la durée d’une étape.
• d (down factor) : Facteur multiplicatif représentant la baisse du prix de l’actif dans une étape du modèle binomial. Selon Cox, Ross et Rubinstein (1979), d = e^{−σ√Δt}.
• σ (volatilité) : Mesure de la dispersion ou de l’incertitude du rendement de l’actif, utilisée pour estimer u et d.
• Δt (durée d’une étape) : Période de temps entre deux nœuds du modèle binomial, souvent exprimée en fraction d’année (ex. 1/4 pour un trimestre).
• Probabilité neutre au risque (q) : Probabilité « artificielle » utilisée pour le calcul de l’espérance sous la mesure neutre au risque, donnée par q = (erΔt − d) / (u − d), selon Cox, Ross et Rubinstein (1979).
• Auteurs : Cox, Ross et Rubinstein (1979) ont introduit ces formules pour simplifier la construction du modèle binomial en lien avec la volatilité et le temps.

📝 Points essentiels

• La détermination de u et d repose sur l’estimation de la volatilité σ du rendement de l’actif, en utilisant la formule σ√Δt, qui relie la volatilité annuelle à celle d’une étape.
• Les formules u = e^{σ√Δt} et d = e^{−σ√Δt} assurent que le modèle reflète la dispersion du rendement, tout en respectant la propriété u > 1 > d.
• La relation entre u, d, et la probabilité neutre q = (erΔt − d) / (u − d) permet de calculer la valeur théorique des options sans arbitrage, en intégrant la volatilité et le temps.
• La formule de u et d garantit que le modèle binomial est cohérent avec la dynamique du mouvement brownien sous-jacent, en lien avec la formule de Black-Scholes-Merton (voir section 6).
• La précision dans le calcul de u et d est cruciale pour l’approximation du modèle continu, notamment pour des maturités courtes ou une volatilité élevée.

💡 À retenir

Les facteurs u et d, calculés via la volatilité et la durée d’une étape, permettent de modéliser la croissance ou la décroissance du prix de l’actif dans un cadre discret, en assurant la cohérence avec la dynamique du mouvement brownien et la neutralité au risque.

📖 8. Options américaines vs européennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Option européenne : Contrat d'option qui ne peut être exercé qu'à la date d’échéance, conformément à la définition de Cox, Ross et Rubinstein (1979).
• Option américaine : Contrat d'option qui peut être exercé à tout moment avant ou à la date d’échéance, permettant une flexibilité accrue pour l’investisseur.
• Exercice anticipé : Possibilité pour l’acheteur d’une option américaine de l’exercer avant la date d’échéance, ce qui n’est pas permis pour une option européenne.
• Valeur d’une option américaine : Toujours supérieure ou égale à celle d’une option européenne équivalente, en raison de la possibilité d’exercice anticipé (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Critère d’arbitrage : La possibilité d’exercice anticipé influence la valorisation, car elle modifie la stratégie de couverture et le calcul de la prime.
• Théorie de la valeur de l’option : La valeur d’une option américaine doit prendre en compte la valeur de l’exercice anticipé, notamment dans le cas d’options sur dividendes ou avec une forte volatilité (voir Black-Scholes-Merton pour les options européennes, extension pour options américaines).

📝 Points essentiels

• La principale différence entre options américaines et européennes réside dans la possibilité d’exercice anticipé pour les premières, ce qui complexifie leur valorisation.
• La valorisation des options américaines ne peut pas se réduire à la formule de Black-Scholes-Merton (1973) utilisée pour les options européennes, car cette dernière suppose l’absence d’exercice anticipé.
• La méthode de binomial (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979) permet d’intégrer cette flexibilité en modélisant l’arbre binomial où l’exercice peut se faire à chaque étape.
• Lorsqu’il n’y a pas de dividendes ou d’autres caractéristiques particulières, la valeur d’une option américaine est généralement proche de celle d’une option européenne, sauf dans des cas où l’exercice anticipé est avantageux (ex : options sur actions avec dividendes).
• La possibilité d’exercice anticipé est particulièrement pertinente pour les options sur actions avec dividendes ou pour les options de type "exotic" où la flexibilité d’exercice influence significativement la prime.
• La valeur de l’option américaine doit être au moins égale à celle de l’option européenne correspondante, car elle offre une option supplémentaire d’exercice.

💡 À retenir

Les options américaines offrent la possibilité d’exercice anticipé, ce qui complexifie leur valorisation par rapport aux options européennes, nécessitant des modèles spécifiques comme l’arbre binomial pour intégrer cette flexibilité.

📖 9. Application pratique du modèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur temps de l'option : La différence entre la prime de l'option et sa valeur intrinsèque, représentant l'espérance de gain liée à la possibilité de réaliser un profit avant l’échéance (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Arbitrage sans risque : Situation où il est impossible de réaliser un profit sans risque en exploitant des différences de prix entre actifs, garantissant la cohérence des prix dans le modèle binomial (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Portefeuille sans risque (hedge) : Composition d’actifs (actions et options) ajustée pour neutraliser le risque de fluctuation du sous-jacent, permettant de fixer le prix de l’option (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Delta (∆) : Quantité d’actifs sous-jacent à détenir pour couvrir le risque d’un portefeuille, calculée comme le ratio de variation du prix de l’option par la variation du prix du sous-jacent dans un modèle binomial (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Probabilités risk-neutral (q) : Probabilités ajustées pour le calcul de la valeur espérée de l’option, intégrant le taux sans risque, indépendantes des probabilités réelles de mouvement du sous-jacent (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Modèle binomial multi-périodes : Extension du modèle à plusieurs périodes, permettant de simuler l’évolution du sous-jacent sur un horizon donné avec un nombre n de pas, en utilisant la formule multinomiale (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

📝 Points essentiels

• La valeur de l’option se calcule en construisant un arbre binomial représentant toutes les trajectoires possibles du sous-jacent, puis en remontant l’arbre en utilisant la formule de valorisation en probabilité risk-neutral (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La formule de valorisation d’une option européenne à un horizon T, en utilisant un modèle binomial à n périodes, est :
  $c_0 = e^{-r \Delta t} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} q^i (1 - q)^{n-i} \max(S_0 u^i d^{n-i} - K, 0)$
  où $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$ est la probabilité risk-neutral, et $\Delta t = T/n$.
• La construction du portefeuille de couverture (hedge) repose sur le calcul du delta à chaque étape, permettant d’ajuster la position pour neutraliser le risque de mouvement du sous-jacent (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La méthode permet aussi d’évaluer la valeur d’options américaines, en intégrant la possibilité d’exercice anticipé à chaque étape, en comparant la valeur de l’exercice immédiat avec la valeur de l’attente (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La probabilité risk-neutral $q$ ne dépend pas des probabilités réelles de mouvement, mais uniquement du taux sans risque et des paramètres u et d, ce qui simplifie la valorisation (source : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La précision de l’estimation augmente avec le nombre de périodes n, permettant de se rapprocher du modèle continu Black-Scholes-Merton (voir section 6).

💡 À retenir

Le modèle binomial de Cox, Ross et Rubinstein offre une méthode flexible et intuitive pour évaluer des options en discret, en construisant un arbre de trajectoires possibles du sous-jacent et en utilisant la probabilité risk-neutral pour déterminer leur valeur.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère / Concept	Description / Formule / Exemple	Auteur / Référence
Modèle Cox-Ross-Rubinstein (1979)	Approche discrète avec arbre binomial, u et d, probabilité q, valorisation via portefeuille sans risque	Cox, Ross, Rubinstein
Probabilité risque-neutre (q)	$q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$	Cox, Ross, Rubinstein
Paramètres u et d	$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$, $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$	Cox, Ross, Rubinstein
Absence d'arbitrage (AAO)	$d < 1 + r < u$ (discret) ou $d < e^{r \Delta t} < u$ (continu)	Cox, Ross, Rubinstein
Valorisation d'une option européenne	$c_0 = e^{-r \Delta t} [ q c_u + (1 - q) c_d ]$	Cox, Ross, Rubinstein
Delta hedging	$\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_0 (u - d)}$	Cox, Ross, Rubinstein
Arbitrage	Opportunité de profit sans risque ni investissement initial	Cox, Ross, Rubinstein
Evolution binomiale d’un actif	Modèle discret avec trajectoires "up" ou "down" à chaque étape	Cox, Ross, Rubinstein

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la probabilité réelle et la probabilité risque-neutre, qui n'ont pas la même signification.
2. Utiliser $u$ et $d$ incorrectement, notamment leur formule ou leur estimation via la volatilité.
3. Oublier que la formule de valorisation doit actualiser par le taux sans risque, et non par la probabilité réelle.
4. Confondre la valeur intrinsèque et la valeur temps d’une option.
5. Négliger la condition d’absence d’arbitrage $d < 1 + r < u$, essentielle pour la cohérence du modèle.
6. Mal calculer la delta, en utilisant une formule inadaptée ou en ne tenant pas compte des états "up" et "down".
7. Confondre options européennes et américaines, notamment leur possibilité d’exercice anticipé.
8. Omettre la mise à jour de la probabilité q lors de l’extension multi-périodes.
9. Mal interpréter la neutralité au risque comme une probabilité réelle.
10. Négliger l’impact de la volatilité $\sigma$ sur u et d, ou l’estimer incorrectement.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de l’arbre binomial selon Cox, Ross et Rubinstein (1979) et ses applications.
2. Savoir calculer la probabilité risque-neutre $q$ à partir de $u$, $d$, et du taux sans risque $r$.
3. Maîtriser la formule de calcul de $u$ et $d$ en fonction de la volatilité $\sigma$ et du pas de temps $\Delta t$.
4. Expliquer le principe d’absence d’arbitrage et ses implications pour $d$, $u$, et $r$.
5. Savoir valoriser une option européenne dans le modèle binomial en utilisant la formule de valorisation actualisée.
6. Comprendre et appliquer la stratégie de hedging delta pour neutraliser le risque.
7. Identifier la différence entre options européennes et américaines, notamment en termes d’exercice anticipé.
8. Savoir étendre le modèle binomial à plusieurs périodes et calculer la valeur de l’option dans ce contexte.
9. Connaître la signification et le calcul de la probabilité risque-neutre (q) dans le cadre du modèle.
10. Être capable d’illustrer graphiquement l’évolution binomiale d’un actif sur plusieurs périodes.
11. Connaître la relation entre la neutralité au risque et la cohérence des prix dans un marché sans arbitrage.
12. Vérifier que la formule de valorisation respecte la condition d’absence d’arbitrage $d < 1 + r < u$.