Forme linéaire — représentation ?
Associe un vecteur unique via (v, x).
Adjoint d’un endomorphisme — définition ?
f* tel que (f(x), y) = (x, f*(y)).
Propriété (f∘g)* = ?
g*∘f* (inverse ordre).
Matrice de f* en base orthonormée ?
Transposée de celle de f.
Noyau de f* — relation ?
Im f = (ker f*)⊥.
Image de f* — relation ?
ker f = (Im f*)⊥.
Auto-adjoint — condition ?
f* = f.
Matrices orthogonales — caractéristique ?
A^T = A^{-1}.
Déterminant d’une isométrie ?
±1.
Groupe $O(n)$ — composé de ?
Matrices orthogonales.
Changement base orthonormée — formule ?
A' = P^T A P.
Produit mixte — définition ?
Determinant de (u,v,w) dans base orthonormée.
Signe du produit mixte — ce qu’il indique ?
Orientation de la famille (positive ou négative).
Produit vectoriel — propriété ?
Bilinear et antisymétrique.
Produit vectoriel — relation avec orthogonalité ?
u ∧ v orthogonal à (u,v).
Dimension du groupe $O(n)$ ?
Compact, de dimension n(n-1)/2.
Matrices orthogonales — propriété ?
A^T = A^{-1}.
Détérminant d’une matrice orthogonale ?
±1.
Rotation en dimension 2 — matrice ?
R(θ) = [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]].
Orientation — définition ?
Classe d’équivalence des bases selon leur déterminant.
Stabilité d’un sous-espace par f — condition ?
f(F) ⊆ F.
Stabilité par f — F⊥ par f* ?
F⊥ est stable si F l’est par f.
Théorème de représentation — rôle ?
Associe chaque forme linéaire à un vecteur unique.
Involution de l’adjonction — propriété ?
(f*)* = f.
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1. Qu'est-ce que la représentation d'une forme linéaire φ sur un espace euclidien selon le théorème de Riesz ?
2. Dans une base orthonormée, quelle est la relation entre la matrice de l'adjoint d’un endomorphisme f et la matrice de f ?
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