Analyse de la croissance et convexité des fonctions exponentielles

📋 Plan du Cours

1. Convexité fonction exponentielle
2. Limite en -∞ de exp(x)
3. Croissance comparée exp(x) et x^n
4. Dérivée de ln(x)
5. Signe de f′(x) = (2x - 8)exp(x)
6. Points d’inflexion de f(x)
7. Étude convexité f(x) = 2e^x / (x - 3)
8. Dérivée seconde de f(x)
9. Signe de f′′(x) et convexité
10. Points d’inflexion de f(x)
11. Limite en 3 de f(x)
12. Limite en -∞ de f(x)

📖 1. Convexité fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité (approche graphique) : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. La courbe représentative 𝑪𝑓 est convexe sur 𝐼 si, pour tous points 𝐴 et 𝐵 distincts de 𝐶, le segment [𝐴𝐵] est au-dessus de la courbe entre ces points.
• Propriété de convexité (approche tangente) : Sur un intervalle 𝑰 où 𝑓 est dérivable, 𝑓 est convexe si et seulement si 𝑪𝑓 est au-dessus de toutes ses tangentes.
• Lien avec la dérivée seconde : Si 𝑓 est deux fois dérivable sur 𝐼, alors 𝑓 est convexe si et seulement si 𝑓′′(𝑥) > 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 (d’après PERROUX (date)).
• Lien avec la dérivée première : La convexité est aussi caractérisée par la croissance de 𝑓′ : si 𝑓 est convexe, alors 𝑓′ est croissante sur 𝐼.
• Exemple de fonction convexe : La fonction exponentielle 𝑒^x est convexe sur ℝ.
• Lien entre convexité et dérivée première croissante : La convexité implique que 𝑓′ est croissante, ce qui revient à dire que 𝑓′′(x) > 0 (d’après PERROUX, date).