Lernzettel: Analyse des fonctions inverses et leurs variations

📋 Plan du Cours

1. Fonction inverse et courbe représentative
2. Dérivée et variations de 1 sur x
3. Extremums de 3 sur x
4. Ventilation et fonction 300 sur x
5. Variations et tangente d’une fonction

📖 1. Fonction inverse et courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Une fonction inverse associe à tout réel x non nul son inverse 1/x, ce qui impose une exclusion de x = 0.
• Hyperbole y = 1/x : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole d’équation y = 1/x, composée de deux branches séparées par la valeur interdite x = 0.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=1/x, la fonction n’est pas définie pour x=0, donc il faut tracer en deux morceaux.
• La courbe y=1/x a deux branches et ne coupe jamais les axes malgré son rapprochement pour des x très grands ou très petits.
• Tableau (arrondi à 0,1) : f(-5)=-0,2 ; f(-4)=-0,25 ; f(-3)=-0,33 ; f(-2)=-0,5 ; f(-1)=-1 ; f(-0,5)=-2 ; f(0,5)=2 ; f(1)=1 ; f(2)=0,5 ; f(3)=0,33 ; f(4)=0,25 ; f(5)=0,2.
• Exemples numériques : si x=1 000 000 alors y=0,000 001 et si x=0,000 001 alors y=1 000 000.

💡 Astuce mémo

Deux branches : ça casse en x=0, mais ça “file” vers 0 quand x grandit.

📖 2. Dérivée et variations de 1 sur x

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de 1/x : La dérivée de la fonction inverse 1/x vaut -1/x².
• Variations décroissantes : Une fonction est décroissante sur un intervalle si sa dérivée y est strictement négative.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=1/x, on a f’(x)=-1/x².
• Comme -1/x² est négatif pour tout x≠0, la fonction 1/x est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
• La valeur de la dérivée change de signe seulement en s’approchant de 0, mais x=0 est exclu donc la décroissance reste valable sur chaque côté.
• La courbe correspond à une hyperbole dont la pente suit le signe de f’ : négative partout où elle est définie.

💡 Astuce mémo

Le carré $x^2$ est positif, donc le “moins” garantit une dérivée négative.

📖 3. Extremums de 3 sur x

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction 3/x : La fonction 3/x est une version de la fonction inverse où le numérateur vaut 3.
• Extremum via dérivée nulle : Un extremum éventuel d’une fonction lisse peut apparaître quand sa dérivée s’annule (ou ne change pas de signe).

📝 Points essentiels

• Sur l’intervalle [-6 ; -0,5], la fonction inverse 1/x étant décroissante, la fonction f(x)=3/x est aussi décroissante (car 3 est positif).
• Pour f(x)=3/x, la dérivée vaut f’(x)=-3/x².
• Sur [-6 ; -0,5], -3/x² reste toujours négatif et ne peut pas être égale à 0.
• Donc f(x)=3/x n’a ni zéro ni un extremum sur l’intervalle : la fonction décroît sans se retourner.
• Méthodes citées pour chercher des extremums : tableau de valeurs, représentation graphique, ou résolution de f’(x)=0.
• Vérification attendue : la courbe obtenue ne présente aucun point haut ni point bas sur [-6 ; -0,5].

💡 Astuce mémo

Pas d’extrémum si f’(x) garde un signe constant (ici toujours < 0).

📖 4. Ventilation et fonction 300 sur x

🔑 Notions clés & Définitions

• Renouvellement d’air : Le renouvellement de l’air dans le local de volume 300 m³ se modélise par un temps dépendant du débit.
• Fonction 300/x : La durée t du renouvellement est donnée par la fonction t=300/x où x représente le débit D.
• Débit D et durée t : Dans le modèle, le débit D est en m³/h et la durée t correspondante est en heures.

📝 Points essentiels

• Le modèle donne t=300/D avec t en heure et D en m³/h.
• Sur [20 ; 300], la fonction 1/x est décroissante, donc t=300/x est aussi décroissante car 300 est un facteur positif.
• Tableau de valeurs : pour D=20, t=15 ; D=30, t=10 ; D=60, t=5 ; D=100, t=3 ; D=150, t=2 ; D=200, t=1,5 ; D=300, t=1.
• Tableau de variation : f(20)=15 et f(300)=1, donc décroissance sur l’intervalle.
• Exemple calculé par calculatrice : pour 12 h, le débit est 25 m³/h.
• Exemple calculé par calculatrice : pour D=80 m³/h, la durée vaut 3,75 h soit 3 h 45 min.

💡 Astuce mémo

Plus le débit augmente, plus le temps diminue : inverse + facteur positif = décroissance.

📖 5. Variations et tangente d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée f’(x) : La dérivée f’(x) donne la pente de la tangente en un point d’abscisse x.
• Tangente à la courbe : La tangente au point d’abscisse xA est la droite passant par le point de la courbe et de pente f’(xA).

📝 Points essentiels

• Sur ]0 ; 1], on étudie f(x)=-8x+5-1/2x.
• Sa dérivée vaut f’(x)=1/2x²-8.
• Sur ]0 ; 1], f’(x) est négative (donc f est décroissante sur tout l’intervalle, car la pente ne devient pas positive).
• Tangente en A d’abscisse 0,5 : on utilise y=f’(xA)(x-xA)+f(xA).
• On obtient f(0,5)=0 et f’(0,5)=-6, donc la tangente est y=-6x+3.

💡 Astuce mémo

Tangente : pente = f’(xA), puis on ancre avec f(xA) pour obtenir l’équation.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’inverse 1/x avec une fonction définie en 0 : x=0 est toujours interdit.
2. Croire que le signe de la dérivée dépend du côté de 0 pour 1/x : ici f’(x)=-1/x² est toujours négative sur chaque intervalle séparé.
3. Chercher un extremum de 3/x en testant seulement f’(x)=0 sans vérifier qu’une division empêche l’annulation (ici f’(x) n’est jamais 0).
4. Penser que multiplier par 3 change le sens de variation : avec un nombre positif, les variations restent identiques.
5. Se tromper dans la tangente en oubliant de remplacer xA=0,5 à la fois dans f’(xA) et f(xA).
6. Confondre les unités du modèle ventilation : D en m³/h et t en heure.

✅ Checklist Examen

1. Donner le domaine de la fonction inverse f(x)=1/x et expliquer pourquoi x=0 est exclu.
2. Compléter et exploiter un tableau de valeurs de 1/x en arrondissant à 0,1.
3. Tracer mentalement une hyperbole à deux branches pour y=1/x et identifier les asymptotes (axes approchées sans coupe).
4. Calculer la dérivée de 1/x et conclure que f’(x) est négative pour tout x≠0.
5. Indiquer le sens de variation de 1/x sur ]-∞ ; 0[ puis sur ]0 ; +∞[.
6. Pour f(x)=3/x sur [-6 ; -0,5], calculer f’(x) et conclure sur l’existence d’extrémum.
7. Justifier le sens de variation de 3/x sur [-6 ; -0,5] à partir du signe de la dérivée.
8. Utiliser le modèle ventilation : écrire t=300/D avec D en m³/h et t en heure.
9. Déduire le sens de variation de t=300/x sur un intervalle du type [20 ; 300].
10. Compléter le tableau de valeurs de t pour les débits donnés (20 à 300) et lire les extrémités t(20) et t(300).
11. Résoudre par lecture/calculatrice : débit pour t=12 h (25 m³/h) et durée pour D=80 m³/h (3 h 45 min).
12. Calculer la dérivée d’une fonction donnée du type f(x)=-8x+5-1/2x.
13. Étudier les variations de cette fonction sur ]0 ; 1] en s’appuyant sur le signe de f’(x).
14. Écrire l’équation d’une tangente en A : y=f’(xA)(x-xA)+f(xA), puis obtenir l’équation numérique y=-6x+3 pour xA=0,5.