Lernzettel: Analyse des fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Forme canonique des polynômes du second degré
3. Parabole, sommet et axe de symétrie
4. Résolution des équations du second degré
5. Discriminant et nombre de solutions
6. Racines évidentes et relations de Vieta
7. Signe d’un trinôme et tableau de variations
8. Inéquations du second degré à une inconnue
9. Position relative de deux courbes

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$.
• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une expression $ax^2+bx+c$ vue comme somme de trois monômes.
• Coefficients $a,b,c$ : Les coefficients sont les réels $a,b,c$ qui déterminent le polynôme $ax^2+bx+c$.
• Forme développée (réduite) : La forme développée est l’écriture $ax^2+bx+c$ du polynôme du second degré.
• Polynôme ordonné : Un polynôme ordonné est la même expression écrite avec les termes rangés, sans changer sa valeur.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré a toujours un terme en $x^2$ avec coefficient $a\neq 0$.
• Pour tout réel $x$, l’image $f(x)$ vaut la somme des trois termes $ax^2$, $bx$ et $c$.
• La forme développée d’un polynôme du second degré est unique (même polynôme, même écriture développée).
• Deux écritures différentes peuvent représenter le même polynôme si elles correspondent à la même somme de termes (exemple $x^2+3x-1$ et $3x-1+x^2$).
• Des expressions sans terme en $x^2$ ou avec une structure différente ne sont pas des polynômes du second degré (contre-exemples cités).

💡 Astuce mémo

Trinôme = 3 monômes : $ax^2+bx+c$ (et $a\neq 0$ pour avoir vraiment du second degré).

📖 2. Forme canonique des polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq 0$.
• Paramètre $\alpha$ : Le paramètre $\alpha$ est le réel qui décale le carré dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Paramètre $\beta$ : Le paramètre $\beta$ est le terme constant restant après mise sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Identité $x^2+px$ : L’identité $x^2+px=(x+\frac p2)^2-(\frac p2)^2$ sert à regrouper $x^2$ et $x$ avant de compléter le carré.
• Compléter le carré : Compléter le carré consiste à transformer $ax^2+bx+c$ en $a(x-\alpha)^2+\beta$ pour faciliter la résolution.

📝 Points essentiels

• On peut mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ par factorisation puis complétion du carré.
• Dans la démonstration, on pose $\alpha=-\frac b{2a}$ pour obtenir le carré $(x-\alpha)^2$.
• On obtient $\beta=f(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}$ (équivalent à $\frac{-b^2-4ac}{4a}$ selon l’écriture intermédiaire).
• Pour résoudre, la forme canonique permet de passer à une équation du type $(x-\alpha)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$.
• Un carré ne peut pas être négatif : si on obtient $(x-\alpha)^2=-\frac{3}{4}$ alors l’ensemble des solutions est vide.

💡 Astuce mémo

Canonique = carré + reste : $a(x-\alpha)^2+\beta$ ; puis on compare à 0 via un carré.

📖 3. Parabole, sommet et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet est le point de la parabole correspondant à la valeur minimale ou maximale selon le signe de $a$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ qui partage la parabole en deux images miroir.
• Parabole : La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole.
• Coordonnées du sommet : Les coordonnées du sommet sont $(\alpha,\beta)$ quand $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Signe de $a$ : Le signe de $a$ détermine l’ouverture de la parabole (vers le haut ou vers le bas).

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, alors la parabole a pour sommet $S(\alpha,\beta)$.
• L’axe de symétrie de cette parabole est la droite $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut (minimum au sommet).
• Si $a<0$, la parabole est ouverte vers le bas (maximum au sommet).
• On peut retrouver $\alpha$ et $\beta$ depuis la forme canonique : $\alpha=-\frac ba$ et $\beta=f(\alpha)$ quand $a>0$ (et $\alpha=-\frac ba$ reste vrai dans la forme canonique).

💡 Astuce mémo

Sommet $(\alpha,\beta)$ et axe $x=\alpha$ : même lettre pour l’abscisse du sommet et l’axe.

📖 4. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
• Solution (racine) : Une solution de $ax^2+bx+c=0$ est un réel qui annule le polynôme, appelé aussi racine.
• Intersection avec l’axe des abscisses : Les solutions sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.
• Factorisation : La factorisation consiste à écrire le polynôme comme produit de facteurs du premier degré pour résoudre par annulation.
• Forme canonique pour résoudre : Utiliser la forme canonique transforme l’équation en une équation sur un carré $(x-\alpha)^2$.

📝 Points essentiels

• Résoudre $ax^2+bx+c=0$ revient à trouver tous les réels qui vérifient l’égalité.
• Avec la forme canonique, on obtient $a\big((x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\big)=0$ puis $(x-\alpha)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$ car $a\neq 0$.
• La remarque géométrique relie les solutions aux intersections de la courbe $y=ax^2+bx+c$ avec l’axe des abscisses.
• Exemple : $2x^2-x-6=0$ donne $\Delta=49$ et donc deux solutions distinctes.
• Exemple : $x^2-2x+1=0$ se traite via l’identité remarquable $(x-1)^2=0$ et donne une solution unique $x=1$.
• Exemple : $(x+3)^2+9=0$ mène à $(x+3)^2=-9$ donc aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Équation = annuler le polynôme : soit par factorisation, soit via $(x-\alpha)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$.

📖 5. Discriminant et nombre de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.
• Cas $\Delta<0$ : Le cas $\Delta<0$ correspond à l’absence de racines réelles pour $ax^2+bx+c=0$.
• Cas $\Delta=0$ : Le cas $\Delta=0$ correspond à une racine réelle double pour $ax^2+bx+c=0$.
• Cas $\Delta>0$ : Le cas $\Delta>0$ correspond à deux racines réelles distinctes pour $ax^2+bx+c=0$.
• Formule des racines : Les racines s’expriment avec $\Delta$ par $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta\ge 0$.

📝 Points essentiels

• Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ pour $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’unique solution réelle est $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le polynôme s’écrit $a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta>0$, il y a deux solutions $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Pour $2x^2-x-6=0$, on trouve $\Delta=49>0$ donc deux solutions distinctes $x_1=-\frac{3}{2}$ et $x_2=2$.
• Le signe de $\Delta$ pilote directement le nombre de solutions réelles.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ décide : négatif = 0 solution, nul = 1 (double), positif = 2.

📖 6. Racines évidentes et relations de Vieta

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine évidente : Une racine évidente est un nombre simple (cité : $0,1,2,-1,-2$) qu’on peut tester directement pour annuler le polynôme.
• Relations de Vieta : Les relations de Vieta relient la somme et le produit des racines à $a,b,c$ pour un trinôme factorisé.
• Somme des racines : La somme des deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ vaut $-\frac{b}{a}$.
• Produit des racines : Le produit des deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ vaut $\frac{c}{a}$.
• Racines distinctes : Les relations de Vieta données s’appliquent quand $x_1$ et $x_2$ sont deux racines distinctes.

📝 Points essentiels

• Les racines évidentes considérées dans le cours sont $0,1,2,-1,-2$.
• Si $x_1$ est une racine évidente, alors on peut factoriser $f(x)$ par $(x-x_1)$ pour trouver l’autre racine.
• Exemple : pour $g(x)=x^2+7x+6$, $x_1=-1$ est racine évidente et l’autre racine vaut $-6$.
• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
• Dans le même cas, on a $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Exemple : si $f$ a pour racines $-2$ et $3$ et vérifie $f(-1)=8$, alors $f(x)=-2(x+2)(x-3)$.

💡 Astuce mémo

Vieta = Somme $-b/a$ et Produit $c/a$ (deux racines distinctes).

📖 7. Signe d’un trinôme et tableau de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’un trinôme : Le signe d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ indique si $f(x)$ est positif, négatif ou nul selon $x$.
• Racines $x_1,x_2$ : Les racines $x_1$ et $x_2$ sont les valeurs de $x$ qui annulent $f(x)$.
• Tableau de signe : Un tableau de signe organise le signe de $f(x)$ sur les intervalles séparés par les racines.
• Signe selon $\Delta$ : Le signe de $f(x)$ dépend du signe de $\Delta$ et du signe de $a$.
• Parabole et signe : Le signe de $f(x)$ correspond à la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, alors $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel (et ne s’annule jamais).
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)$ est du signe de $a$ et s’annule en $x_0=-\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)$ est du signe de $a$ sauf entre les deux racines où $f(x)$ et $a$ sont de signes contraires.
• Le changement de signe se produit aux racines $x_1$ et $x_2$ quand elles sont distinctes.
• Le tableau de signe se construit en découpant la droite réelle par les racines (ou par l’absence de racines si $\Delta\le 0$).
• Le cours relie l’étude algébrique du signe à l’observation graphique de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Parabole au-dessus = positif, en dessous = négatif ; et $\Delta$ dit si elle coupe l’axe.

📖 8. Inéquations du second degré à une inconnue

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation portant sur un trinôme du type $ax^2+bx+c$.
• Formes $\le,\ge,<,>$ : Les inéquations du second degré peuvent s’écrire avec $\le 0$, $\ge 0$, $<0$ ou $>0$ après mise au même membre.
• Tableau de signe : Un tableau de signe permet de déterminer sur quels intervalles l’expression est positive, négative ou nulle.
• Domaine excluant les valeurs interdites : Quand une inéquation implique une fraction, les valeurs qui annulent le dénominateur sont exclues de l’ensemble des solutions.
• Résolution par équivalence : Résoudre une inéquation consiste à transformer l’expression pour obtenir une inéquation du type $f(x)\ \,\text{(signe)}\,\,0$.

📝 Points essentiels

• Une inéquation du second degré à une inconnue peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c\le 0$, $\ge 0$, $<0$ ou $>0$.
• Pour résoudre $2x^2-x-6\le 0$, on calcule $\Delta=49$ puis on utilise les racines $-\frac{3}{2}$ et $2$ pour construire le tableau de signe.
• Avec $a>0$, l’expression est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles (ce qui permet de lire l’ensemble $S=[-\frac{3}{2},2]$ pour l’exemple).
• Pour $x^2+2x>0$, on factorise $x(x+2)$ et on obtient les racines $0$ et $-2$, puis on déduit $S=]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[$.
• Dans l’exercice, $\frac{1}{x^2-x-6}\ge 2$ impose d’exclure $x=-2$ et $x=3$ car ce sont les zéros du dénominateur.
• L’exercice donne finalement l’ensemble des solutions $[1-\frac{3\sqrt{3}}{2},\,-2[$.

💡 Astuce mémo

Toujours : mettre au même membre, factoriser si possible, puis lire le signe sur les intervalles (et exclure les zéros du dénominateur si fraction).

📖 9. Position relative de deux courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Position relative de courbes : La position relative de deux courbes décrit si une courbe est au-dessus, au-dessous ou confondue avec l’autre selon $x$.
• Différence de fonctions : Pour comparer deux courbes $C_f$ et $C_g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$.
• Courbes représentatives : Les courbes représentatives sont les graphes des fonctions $f$ et $g$.
• **Signe de $f(x)-g(x)** : Le signe de$f(x)-g(x)$indique si$C_f$est au-dessus ou au-dessous de$C_g$.
• Équation d’intersection : Les points d’intersection correspondent aux solutions de $f(x)=g(x)$, donc à $f(x)-g(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Pour étudier la position relative de $C_f$ et $C_g$, on calcule $f(x)-g(x$.
• Les abscisses d’intersection sont les solutions de $f(x)-g(x)=0$.
• Le signe de $f(x)-g(x)$ permet de conclure sur l’ordre des courbes (au-dessus/au-dessous).
• Dans l’exemple, $f(x)=-x^2+8x-11$ et $g(x)=x-1$, donc la comparaison passe par l’étude du trinôme obtenu en soustrayant $g$ à $f$.
• La méthode repose sur les mêmes outils que pour les inéquations du second degré : signe d’un trinôme et intervalles.
• Cette approche transforme un problème géométrique en problème d’étude de signe.

💡 Astuce mémo

Comparer = soustraire : $f-g$ ; signe de $f-g$ = ordre des courbes.

📊 Tableaux de synthèse

Choix de méthode selon la forme

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme développée et la forme canonique : la première est $ax^2+bx+c$, la seconde est $a(x-\alpha)^2+\beta$.
2. Calculer $\Delta$ sans vérifier que le polynôme est bien de la forme $ax^2+bx+c$ (le cours insiste sur la reconnaissance avant $\Delta$).
3. Oublier que $a\neq 0$ : une expression sans terme en $x^2$ n’est pas du second degré.
4. Se tromper de signe dans l’étude du trinôme : quand $\Delta>0$, le signe de $f$ s’inverse entre les deux racines.
5. Dans une inéquation avec fraction, oublier d’exclure les valeurs qui annulent le dénominateur (exemple : $x=-2$ et $x=3$).
6. Intervertir les solutions quand on lit le tableau de signe : les intervalles dépendent de l’ordre des racines (gauche/droite).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction polynôme du second degré et identifier ses coefficients $a,b,c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir utiliser la forme développée pour factoriser ou appliquer des identités remarquables quand c’est possible.
3. Savoir mettre un trinôme sous la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ en complétant le carré.
4. Savoir relier forme canonique à la géométrie : sommet $(\alpha,\beta)$ et axe $x=\alpha$.
5. Savoir résoudre $ax^2+bx+c=0$ en utilisant soit la factorisation, soit la forme canonique, soit la formule via $\Delta$.
6. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et déterminer le nombre de solutions selon le signe de $\Delta$.
7. Savoir écrire les racines $x_0=-\frac{b}{2a}$ si $\Delta=0$ et $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta>0$.
8. Savoir repérer et exploiter une racine évidente (parmi $0,1,2,-1,-2$) puis trouver l’autre racine.
9. Savoir appliquer Vieta : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ quand les racines sont distinctes.
10. Savoir déterminer le signe d’un trinôme selon $\Delta$ et le signe de $a$, puis construire/relire un tableau de signe.
11. Savoir résoudre une inéquation du second degré en ramenant au même membre, en utilisant le tableau de signe, et en gérant correctement les inégalités strictes/non strictes.
12. Savoir résoudre une inéquation avec fraction en excluant les zéros du dénominateur et en résolvant ensuite l’inéquation obtenue.
13. Savoir étudier la position relative de deux courbes $C_f$ et $C_g$ via le signe de $f(x)-g(x)$ et interpréter les intersections via $f(x)=g(x)$.