Lernzettel: Analyse des fonctions quadratiques

📋 Plan du Cours

1. Résolution d'une fonction du second degré
2. Tableau des signes de f
3. Dérivée d'une fonction quadratique
4. Sommet et tableau de variation

📖 1. Résolution d'une fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique : Fonction polynomiale de degré 2 s’écrivant sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant Δ : Expression $\Delta=b^2-4ac$ permettant de déterminer le nombre de solutions de $ax^2+bx+c=0$.
• Parabole : Courbe associée à une fonction quadratique, dont les intersections avec l’axe des abscisses donnent les solutions de $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Résoudre $ax^2+bx+c=0$ revient à calculer $\Delta=b^2-4ac$ puis à en déduire les solutions.
• Si $\Delta>0$, il y a deux solutions notées $x_1$ et $x_2$ (deux intersections avec l’axe des abscisses).
• Si $\Delta=0$, il y a une solution unique $x_0$ (une intersection).
• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle (la parabole n’intersecte pas l’axe des abscisses).

💡 Astuce mémo

Δ pilote le sort : Δ>0 deux zéros, Δ=0 un zéro double, Δ<0 aucun zéro.

📖 2. Tableau des signes de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau des signes : Tableau qui indique, sur des intervalles séparés par les racines, si $f(x)$ est positif, nul ou négatif.
• **Racines $x_1$ et $x_2** : Valeurs de$x$telles que$f(x)=0$quand$\Delta>0$, qui découpent la droite en trois zones.
• Cas $\Delta=0$ : Configuration où $f$ s’annule en une seule abscisse $x_0$, ce qui donne un tableau à deux intervalles.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, le tableau a trois colonnes séparées par $x_1$ et $x_2$, avec $f(x)$ de signe opposé au signe de $a$ entre les deux racines.
• Si $\Delta>0$, on a $f(x)=0$ exactement en $x_1$ et en $x_2$, et le signe en dehors des racines est celui de $a$.
• Si $\Delta=0$, $f(x)=0$ en $x_0$ et $f(x)$ garde le signe de $a$ de part et d’autre de $x_0$.
• Si $\Delta<0$, $f(x)$ ne s’annule jamais et garde toujours le signe de $a$.

💡 Astuce mémo

Racines = changements : entre deux zéros, $f$ prend le signe contraire de $a$.

📖 3. Dérivée d'une fonction quadratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée $f'$ : Fonction qui donne le taux de variation de $f$ et qui, pour une quadratique, reste une expression du 1er degré.
• Formule de dérivation d’un $ax^2$ : Règle donnant que la dérivée de la partie $ax^2$ produit un terme proportionnel à $x$.
• Équation $f'(x)=0$ : Condition qui détermine les abscisses où la dérivée s’annule (liées au sommet pour une parabole).

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on obtient $f'(x)=2ax+b$.
• Chercher le signe de $f'$ n’est pas équivalent à chercher le signe de $f(x)$ : ce sont deux informations différentes.
• Pour résoudre $f'(x)=0$, on prend $2ax+b=0$ puis on isole $x$ : $x=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

$f'$ perd le carré : $ax^2 \to 2ax$, puis $+b$ apparaît.

📖 4. Sommet et tableau de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet $S(x_s;y_s)$ : Point de la parabole où se trouve l’extrémité, avec $x_s$ fixé par $-\frac{b}{2a}$ et $y_s=f(x_s)$.
• **Abscisse $x_s=-b/2a** : Coordonnée du sommet obtenue en remplaçant dans$x_s$la valeur$-\frac{b}{2a}$.
• Tableau de variation : Tableau qui indique, via le signe de $f'$, si $f$ est croissante ou décroissante sur un intervalle.

📝 Points essentiels

• L’abscisse du sommet est $x_s=-\frac{b}{2a}$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$.
• La valeur au sommet est $y_s=f(x_s)$, obtenue en remplaçant $x$ par $x_s$ dans l’expression de $f$.
• Le tableau de variation se lit à partir du signe de $f'$ sur $[A;B]$ avec une séparation en $-\frac{b}{2a}$.
• Si $f'$ est négative puis nulle puis positive, $f$ décroît puis atteint $f(x_s)$ puis croît (avec flèches de variation).

💡 Astuce mémo

Le sommet est au point où $f'$ s’annule : $x=-\frac{b}{2a}$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la résolution de $f(x)=0$ (où intervient $\Delta$) avec la résolution de $f'(x)=0$ (où $x=-\frac{b}{2a}$).
2. Croire que le signe de $f'(x)$ donne le signe de $f(x)$ : ce sont deux tableaux différents.
3. Oublier le cas $\Delta<0$ : dans ce cas $f(x)$ ne s’annule jamais et garde un signe constant (celui de $a$).
4. Se tromper sur le point de découpe du tableau de variation : c’est $-\frac{b}{2a}$, pas $x_1$ ou $x_2$.
5. Confondre $x_s$ et $y_s$ : $x_s=-\frac{b}{2a}$ mais $y_s$ se calcule comme $f(x_s)$.
6. En tableau des signes pour $\Delta>0$, inverser la zone entre $x_1$ et $x_2$ : elle correspond au signe contraire de $a$.
7. Penser que $\Delta=0$ donne deux racines : il n’y a qu’une abscisse $x_0$ (racine double).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire $f(x)=ax^2+bx+c$ et rappeler que la résolution de $f(x)=0$ mène à $ax^2+bx+c=0$.
2. Être capable de calculer $\Delta=b^2-4ac$ puis d’en déduire le nombre de solutions réelles selon le signe de $\Delta$.
3. Dire quoi conclure pour $\Delta>0$, pour $\Delta=0$, et pour $\Delta<0$ concernant l’intersection avec l’axe des abscisses.
4. Savoir construire un tableau des signes de $f(x)$ à partir de $\Delta$ (cas $>0$, $=0$, $<0$) en utilisant le signe de $a$ et les racines.
5. Savoir placer correctement $x_1$ et $x_2$ quand $\Delta>0$, et $x_0$ quand $\Delta=0$.
6. Vérifier que quand $\Delta<0$, le tableau indique que $f(x)$ ne s’annule jamais et garde le signe de $a$.
7. Savoir calculer la dérivée d’une quadratique : $f'(x)=2ax+b$.
8. Résoudre $f'(x)=0$ en isolant $x$ et obtenir la valeur $x=-\frac{b}{2a}$.
9. Donner l’abscisse du sommet : $x_s=-\frac{b}{2a}$.
10. Calculer la valeur au sommet $y_s=f(x_s)$ en remplaçant $x$ par $x_s$ dans $f$.
11. Construire le tableau de variation sur $[A;B]$ en indiquant le signe de $f'$ et les flèches de variation en fonction de ce signe.
12. Savoir lire le sens de variation de $f$ (décroît/croît) selon que $f'$ est $-$ puis $0$ puis $+$, ou $+$ puis $0$ puis $-$.