Lernzettel: Analyse des fonctions quadratiques et leurs variations

📋 Plan du Cours

1. Trinôme du second degré
2. Dérivation et tangente
3. Produit scalaire
4. Équations de droites
5. Colinéarité et alignement
6. Dérivée et variations

📖 1. Trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction polynôme de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme développée : La forme développée est l’écriture $f(x)=ax^2+bx+c$ d’un trinôme du second degré.
• Forme canonique : La forme canonique est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ qui met en évidence le sommet de la parabole.
• Sommet de la parabole : Le sommet $S(\alpha;\beta)$ est le point clé de la parabole, déterminé par $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction du type $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ est un trinôme du second degré.
• Tout trinôme du second degré se réécrit sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• L’abscisse $\alpha$ du sommet vaut $-\frac{b}{2a}$, et l’ordonnée vaut $\beta=f(\alpha)$.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et admet un minimum au sommet.
• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et admet un maximum au sommet.

💡 Astuce mémo

$\alpha=-\frac{b}{2a}$ : deux fois $a$ au dénominateur et signe opposé à $b$.

📖 2. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée $f'(x)$ mesure la vitesse de variation de la fonction au voisinage du point d’abscisse $x$.
• Coefficient directeur de tangente : Le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
• Tangente à une courbe : La tangente en $x=a$ à la courbe de $f$ est une droite de pente $f'(a)$ passant par $(a,f(a))$.
• Règle de dérivation linéaire : La dérivée d’une somme se calcule en dérivant chaque terme puis en additionnant les résultats.

📝 Points essentiels

• La tangente en $x=a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f'(a)>0$, la courbe monte au voisinage de $a$, et si $f'(a)<0$ elle descend.
• Pour $f(x)=k$ (constante), on a $f'(x)=0$.
• Pour $f(x)=x^n$, on a $f'(x)=n x^{n-1}$, et en particulier $\frac{d}{dx}x^2=2x$.
• Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, on a $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, et pour $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Tangente à $f(x)=x^2$ en $x=1$ : $f'(1)=2$, $f(1)=1$, donc $y=2(x-1)+1=2x-1$.

💡 Astuce mémo

Tangente : pente $=f'(a)$ et point $=(a,f(a))$ donc on écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 3. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire est une opération sur deux vecteurs qui renvoie un nombre lié à l’angle et à l’orientation relative.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur $u(x;y)$ est sa longueur $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Angle entre deux vecteurs : L’angle $\theta$ entre deux vecteurs apparaît dans la formule du produit scalaire géométrique via le cosinus.
• Perpendicularité : Deux vecteurs sont perpendiculaires lorsque leur produit scalaire vaut zéro.

📝 Points essentiels

• Si $u(x_1;y_1)$ et $v(x_2;y_2)$, alors $u\cdot v=x_1x_2+y_1y_2$.
• Exemple : $u(2;3)$ et $v(1;4)$ donnent $u\cdot v=2\times1+3\times4=14$.
• Si $u(x;y)$, alors $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2}$, et $\|(3;4)\|=5$.
• Formule géométrique : $u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)$ où $\theta$ est l’angle entre les vecteurs.
• Si $u\cdot v=0$, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
• Pour calculer l’angle : $\cos(\theta)=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire géométrique : longueur fois longueur fois cosinus.

📖 4. Équations de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme générale $y=mx+p$ : Une droite non verticale peut s’écrire $y=mx+p$, avec $m$ comme coefficient directeur et $p$ comme ordonnée à l’origine.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur $m$ indique l’inclinaison de la droite et le sens de sa montée ou descente.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine $p$ est la valeur de $y$ quand $x=0$ pour la droite $y=mx+p$.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite $y=mx+p$ peut être choisi comme $(1\,;\,m)$.

📝 Points essentiels

• Pour une droite non verticale : $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur et $p$ ordonnée à l’origine.
• Entre deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Méthode : calculer $m$, écrire $y=mx+p$, remplacer par un point puis résoudre pour $p$.
• Cas horizontal : une droite s’écrit $y=k$.
• Cas vertical : une droite s’écrit $x=k$.
• Exemple : $A(1;2)$ et $B(3;6)$ donnent $m=2$ et une équation $y=2x$ (ici $p=0$).

💡 Astuce mémo

Deux points → pente : $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ puis $y=mx+p$.

📖 5. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, qu’ils soient dans le même sens ou en sens opposés.
• Critère de colinéarité : Le critère $x_1y_2-y_1x_2=0$ teste si deux vecteurs $u(x_1;y_1)$ et $v(x_2;y_2)$ sont colinéaires.
• Alignement de points : Trois points sont alignés lorsqu’un même axe rectiligne permet de passer de l’un à l’autre sans changer la direction.
• Parallélisme de droites : Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

📝 Points essentiels

• Pour $u(x_1;y_1)$ et $v(x_2;y_2)$, colinéarité équivaut à $x_1y_2-y_1x_2=0$.
• Méthode par multiplicateur : si $u=k v$, alors $u$ et $v$ sont colinéaires.
• Exemple : $u(2;4)$ et $v(1;2)$ vérifient $u=2v$, donc ils sont colinéaires.
• Pour vérifier l’alignement de $A,B,C$, on calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis on teste leur colinéarité.
• Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Même direction → même droite : tester la colinéarité (ou un multiple) suffit.

📖 6. Dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation d’une fonction sur un intervalle dépend du signe de sa dérivée sur cet intervalle.
• Point critique : Un point critique est une abscisse $a$ telle que $f'(a)=0$.
• Tableau de variations : Un tableau de variations synthétise les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante à partir du signe de $f'(x)$.
• Extrema : Les extrema sont les valeurs particulières de la fonction associées aux changements de signe de $f'(x)$.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x)<0$ sur un intervalle, alors $f$ est décroissante sur cet intervalle.
• Si $f'(a)=0$, alors $a$ est un point critique, et il peut correspondre à un maximum ou à un minimum.
• Méthode complète : définir le domaine, dériver, résoudre $f'(x)=0$, étudier le signe, puis construire le tableau et conclure sur les extrema.
• Exemple $f(x)=x^2-4x+3$ : $f'(x)=2x-4$, donc $f'(x)=0$ pour $x=2$.
• Dans l’exemple, si $x<2$ alors $f'(x)<0$ et si $x>2$ alors $f'(x)>0$, donc $f$ admet un minimum en $x=2$.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : $+$ monte, $-$ descend, et quand on passe par 0 on cherche l’extremum.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme développée $ax^2+bx+c$ et la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ : seule la canonique donne directement le sommet.
2. Oublier que $\beta=f(\alpha)$ : calculer $\alpha$ sans réinjecter dans $f$ donne une coordonnée de sommet incomplète.
3. Se tromper sur l’équation de la tangente en $x=a$ : la pente est $f'(a)$ et le point d’appui est $(a,f(a))$.
4. Inverser le sens de variation : $f'(x)>0$ signifie croissante, et non l’inverse.
5. Utiliser un critère de colinéarité incorrect : c’est bien $x_1y_2-y_1x_2=0$ pour $u(x_1;y_1)$ et $v(x_2;y_2)$.
6. Croire que $f'(a)=0$ implique automatiquement un maximum ou un minimum : c’est seulement un point critique, pas une conclusion immédiate.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier un trinôme du second degré sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
2. Savoir passer de $ax^2+bx+c$ à la forme canonique en calculant $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$.
3. Savoir conclure le sens de variation d’une parabole à partir du signe de $a$ (minimum si $a>0$, maximum si $a<0$).
4. Savoir interpréter graphiquement le signe de $f'(a)$ pour monter/descendre et la valeur $f'(a)=0$ pour une tangente horizontale.
5. Savoir utiliser les formules de dérivation données pour constante, affine, puissances $x^n$, inverse, racine carrée et exponentielle $e^x$.
6. Savoir appliquer la dérivation d’une somme $(u+v)'=u'+v'$.
7. Savoir appliquer la dérivation d’un produit $(uv)'=u'v+uv'$.
8. Savoir appliquer la dérivation d’un quotient $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$.
9. Savoir écrire l’équation de la tangente en $x=a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
10. Savoir calculer un produit scalaire en coordonnées $x_1x_2+y_1y_2$ pour deux vecteurs donnés.
11. Savoir calculer la norme $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2}$ et utiliser la formule $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos(\theta)$.
12. Savoir déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires via $u\cdot v=0$ et retrouver $\cos(\theta)$ avec la fraction fournie.
13. Savoir écrire et interpréter une droite non verticale sous la forme $y=mx+p$ et relier $m$ au sens montée/descente.
14. Savoir calculer $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ à partir de deux points et en déduire une équation de droite en trouvant $p$.