Lernzettel: Analyse des polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Monômes, polynômes et degré
2. Formes d'un polynôme du second degré
3. Variations et extremum
4. Racines d'un polynôme
5. Discriminant
6. Propriétés des racines
7. Signe d'un polynôme du second degré

📖 1. Monômes, polynômes et degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Un monôme est une expression de la forme $k\times x^n$ où $k$ est réel et $n$ est un entier positif.
• Polynôme : Un polynôme est une somme de monômes.
• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme est l’exposant le plus élevé parmi ses monômes.
• Fonction polynomiale : Une fonction polynomiale associe à chaque réel $x$ un polynôme.

📝 Points essentiels

• Un exemple de monôme est $x^{21}$ et un exemple de polynôme est $4x^3+7x$ (binôme) ou $4x^2+3x+8$ (trinôme).
• Le degré d’un polynôme s’obtient en repérant l’exposant maximal des puissances de $x$ qui apparaissent.
• Une fonction polynomiale de degré $0$ est une fonction constante.
• Une fonction polynomiale de degré $1$ est une fonction affine.
• Attention : une expression comme $f(x)=5x^2-10x$ désigne une fonction, tandis que $5x^2-10x$ désigne le polynôme.

💡 Astuce mémo

Degré = plus grande puissance : le « plus haut » $n$ gagne.

📖 2. Formes d'un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : La forme développée d’un polynôme du second degré est $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq 0$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Dans $\mathbb R$, la forme factorisée n’existe pas toujours pour un polynôme du second degré.
• Quand $\Delta>0$, la forme factorisée est possible dans $\mathbb R$ car on peut obtenir deux racines réelles.
• Quand $\Delta=0$, la factorisée devient $P(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2$ avec une racine double.
• Quand $\Delta<0$, on ne factorise pas dans $\mathbb R$ (pas de produit de deux facteurs réels).

💡 Astuce mémo

Développée = $ax^2+bx+c$ ; canonique = carré parfait ; factorisée = produit de deux facteurs.

📖 3. Variations et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum est la valeur minimale ou maximale prise par une fonction selon le sens d’ouverture de sa parabole.

📝 Points essentiels

• Avec $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la valeur de l’extrémum est $\beta$ et il est atteint pour $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante (minimum en $x=\alpha$).
• Si $a<0$, la fonction est croissante puis décroissante (maximum en $x=\alpha$).
• La parabole « smile content » correspond à $a>0$ et « smile triste » correspond à $a<0$.
• Pour $a>0$, l’extremum est un minimum, et pour $a<0$ c’est un maximum (tous deux égaux à $\beta$).

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ = sens de la parabole : $a>0$ creuse (min), $a<0$ renverse (max).

📖 4. Racines d'un polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Une racine d’un polynôme $P$ est un réel $x_0$ tel que $P(x_0)=0$.
• **Équation $P(x)=0** : Résoudre$P(x)=0$revient à trouver toutes les racines du polynôme$P$.

📝 Points essentiels

• Vérifier qu’un réel $x_0$ est une racine consiste à remplacer $x$ par $x_0$ dans $P(x)$ et vérifier l’égalité à $0$.
• Pour un polynôme de degré $2$, si $x_1$ et $x_2$ sont ses racines réelles, alors $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Pour un produit nul $a(x-x_1)(x-x_2)=0$, les solutions réelles sont $x=x_1$ ou $x=x_2$ lorsque les racines sont réelles.

💡 Astuce mémo

Racine = « mise en zéro » : $P(x)=0$.

📖 5. Discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.
• Lien discriminant-racines : Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de racines réelles et donc si la factorisation réelle est possible.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le polynôme n’a aucune racine réelle et n’est pas factorisable dans $\mathbb R$.
• Si $\Delta=0$, le polynôme a une unique racine réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$ et elle est double.
• Si $\Delta>0$, le polynôme a deux racines réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.
• On peut retenir la forme compacte $x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
• Dans la démarche, la forme canonique donne directement $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ signe le sort : $-$ aucune racine, $0$ racine double, $+$ deux racines.

📖 6. Propriétés des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : Pour $P(x)=ax^2+bx+c$ admettant deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme vaut $-\frac{b}{a}$.
• Produit des racines : Pour $P(x)=ax^2+bx+c$ admettant deux racines $x_1$ et $x_2$, leur produit vaut $\frac{c}{a}$.
• Abscisse du sommet : Dans la forme canonique $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, l’abscisse du sommet est $\alpha$.

📝 Points essentiels

• Par symétrie de la parabole, $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ lorsque le polynôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$.
• On a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ pour passer de la factorisée aux coefficients de la développée.
• On a $x_1x_2=\frac{c}{a}$ pour passer de la factorisée aux coefficients de la développée.
• À partir de $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on identifie $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=a\,x_1x_2$.

💡 Astuce mémo

Sommet : c’est la moyenne des racines ($\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$).

📖 7. Signe d'un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signe : Un tableau de signe indique le signe de $P(x)$ selon les intervalles découpés par ses racines réelles.
• Racines et zéros : Les racines sont les valeurs de $x$ qui rendent $P(x)$ égal à $0$ et donc changent éventuellement le signe.

📝 Points essentiels

• L’étude du signe dépend du signe de $a$ et de celui du discriminant $\Delta$.
• Si $\Delta<0$, le polynôme garde un signe constant (selon $a$) sur $\mathbb R$.
• Si $\Delta=0$, le polynôme s’annule en x_0=\frac{-b}{2a}$et conserve un signe selon$a$ de part et d’autre.
• Si $\Delta>0$, le signe alterne en passant par les deux racines $x_1$ et $x_2$ (l’alternance est fixée par le signe de $a$).
• Quand la forme factorisée est disponible ou facile à obtenir, on utilise de préférence un tableau de signe basé sur les facteurs.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ contrôle le « découpage » : $-$ zéro, $0$ un zéro double, $+$ deux zéros.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines

Valeur de Δ	Racines réelles	Forme factorisée en R
Δ<0	Aucune	Impossible (dans R)
Δ=0	Une racine double x0	Factorisable en carré
Δ>0	Deux racines x1,x2	Factorisable avec deux facteurs réels

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre polynôme et fonction : $5x^2-10x$ (polynôme) n’est pas la même notion que $f(x)=5x^2-10x$ (fonction).
2. Oublier que dans la forme développée il faut $a\neq 0$ pour être bien du second degré.
3. Croire que la forme factorisée existe toujours dans $\mathbb R$ alors qu’elle dépend du signe de $\Delta$.
4. Se tromper de formule de racine en oubliant le dénominateur $2a$ dans $x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
5. Mélanger le sommet et les racines : l’abscisse $\alpha$ n’est pas une racine en général mais la moyenne $(x_1+x_2)/2$.
6. Dresser un tableau de signe sans tenir compte du signe de $a$ : l’alternance et les signes finaux dépendent de $a$.
7. Confondre variations : $a>0$ donne décroissante puis croissante, alors que $a<0$ donne l’inverse.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître un monôme et un polynôme, puis déterminer le degré d’un polynôme à partir des exposants.
2. Donner la forme développée d’un second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ et vérifier que $a\neq 0$.
3. Passer à la forme canonique $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et utiliser $\alpha=-\frac{b}{2a}$, $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.
4. Savoir distinguer les trois formes (développée, canonique, factorisée) et conclure sur l’existence de la factorisée dans $\mathbb R$.
5. Lire les variations d’une parabole à partir du signe de $a$ (décroissante puis croissante si $a>0$, l’inverse si $a<0$).
6. Déterminer l’abscisse et la valeur de l’extrémum : $x=\alpha$ et valeur $\beta$.
7. Définir une racine $x_0$ comme solution de $P(x)=0$ et savoir vérifier par substitution.
8. Utiliser la factorisation $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ : connaître le lien entre racines et facteurs réels.
9. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ à partir de $a,b,c$.
10. Conclure le nombre de racines réelles selon le signe de $\Delta$ et donner les formules exactes des racines si $\Delta\ge 0$.
11. Relier coefficients et racines : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
12. Déterminer l’abscisse du sommet par $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ et relier avec la forme canonique.
13. Étudier le signe de $P(x)$ avec la table selon $a$ et $\Delta$ (cas $\Delta<0$, $\Delta=0$, $\Delta>0$).
14. Résoudre des inéquations du type $P(x)\le 0$, P(x)0 ou $P(x)\ge 0$ en s’appuyant sur un tableau de signe ou une factorisation quand possible.