Lernzettel: Analyse des racines du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du second degré
2. Discriminant et résolution
3. Factorisation selon le discriminant
4. Racines d’un polynôme du second degré
5. Factorisation et racines
6. Somme et produit des racines

📖 1. Forme canonique du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta$ associé à $f(x)=ax^2+bx+c$ vaut $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Tout polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour des réels $\alpha,\beta$.
• En complétant le carré, on obtient $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$.
• Après calcul, $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$ donne directement la forme canonique.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré : $-\dfrac{b}{2a}$ se glisse au centre du carré, et $-\dfrac{\Delta}{4a}$ est le “décalage” final.

📖 2. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant Δ : Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$) est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Solution unique : Une équation du second degré admet une solution unique lorsque son discriminant vaut $\Delta=0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’unique solution vaut $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Le signe de $\Delta/4a^2$ décide si le carré égalé a une racine réelle.

💡 Astuce mémo

Signe de $\Delta$ : négatif→0 solution, nul→1 solution, positif→2 solutions.

📖 3. Factorisation selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation par le discriminant : La factorisation d’un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du signe de $\Delta=b^2-4ac$.
• Racine double : Une racine double correspond au cas $\Delta=0$, où le polynôme s’écrit comme un carré factorisé.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, aucune factorisation réelle du type $(x-x_1)(x-x_2)$ n’est possible avec des racines réelles.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Dans le cas $\Delta=0$, les deux racines coïncident et valent $x_0$.

💡 Astuce mémo

$\Delta<0$ bloque la factorisation réelle, $\Delta=0$ donne un carré, $\Delta>0$ produit deux facteurs distincts.

📖 4. Racines d’un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction : Une racine d’un polynôme du second degré $f$ est un réel $x_1$ tel que $f(x_1)=0$.
• Forme développée : La forme développée d’un polynôme du second degré est l’écriture $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Une racine est exactement une solution de l’équation $f(x)=0$.
• Un polynôme du second degré peut admettre au plus deux racines réelles.
• Les coefficients $a,b,c$ caractérisent la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Les racines coïncident avec les valeurs qui annulent le polynôme.

💡 Astuce mémo

Racine = “zéro du polynôme” : $f(x)=0$ à cette valeur.

📖 5. Factorisation et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine x₁ : Si $x_1$ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $x-x_1$ apparaît comme facteur de $f$.
• Forme factorisée : Quand $f$ a pour racines $x_1$ et $x_2$, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📝 Points essentiels

• Si $x_1$ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f(x)=(x-x_1)(ax+d)$ avec un réel $d$.
• Si $f$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$ à facteur $a$ près : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines, donc au plus deux facteurs linéaires réels distincts.
• Une égalité de polynômes du second degré se justifie par l’égalité des coefficients.

💡 Astuce mémo

Une racine “annule”, donc elle devient un facteur : $x_1$ ↔ facteur $(x-x_1)$.

📖 6. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec racines réelles $x_1$ et $x_2$, la somme vaut $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$.
• Produit des racines : Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec racines réelles $x_1$ et $x_2$, le produit vaut $P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, le développement donne $-a(x_1+x_2)x$ comme terme en $x$, donc $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$.
• Le terme constant du développement vaut $a x_1x_2$, donc $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Si l’une des racines est connue, l’autre se déduit grâce à la somme ou au produit des racines.
• Si $a$ et $c$ ont le même signe et si $f$ admet deux racines, alors ces deux racines ont le même signe car $x_1x_2=\dfrac{c}{a}>0$.

💡 Astuce mémo

Somme : $-b/a$, Produit : $c/a$ : $b$ “change de signe”, $c/a$ règle le signe commun via le produit.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la définition de $\Delta$ : c’est $b^2-4ac$, pas $4ac-b^2$.
2. Utiliser $-\dfrac{b}{2a}$ quand $\Delta>0$ alors qu’il faut deux solutions avec $\pm\sqrt{\Delta}$.
3. Oublier que $a\neq 0$ : sinon on n’est plus dans le cadre du second degré.
4. Mélanger la formule des racines : les dénominateurs sont toujours $2a$, pas $a$.
5. Penser qu’on peut factoriser avec des racines réelles quand $\Delta<0 ; ici il n’y a pas de racines réelles.
6. Dire que deux racines réelles existent toujours : cela dépend du signe de $\Delta$.
7. Se tromper sur les signes dans la somme des racines : c’est $x_1+x_2=-b/a$, pas $b/a$.

✅ Checklist Examen

1. Être capable d’écrire un polynôme $ax^2+bx+c$ sous la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-b/(2a)$ et $\beta=-\Delta/(4a)$.
2. Calculer correctement le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour une équation du second degré.
3. Déduire le nombre de solutions réelles à partir du signe de $\Delta$ : aucune pour $\Delta<0$, une pour $\Delta=0$, deux pour $\Delta>0$.
4. Donner la bonne formule des solutions : $x_0=-b/(2a)$ si $\Delta=0$, et $x_{1,2}=(-b\pm\sqrt{\Delta})/(2a)$ si $\Delta>0$.
5. Factoriser un polynôme selon le signe de $\Delta$ : carré si $\Delta=0$, produit de deux facteurs linéaires si $\Delta>0$.
6. Savoir relier racines et factorisation : si $x_1$ est une racine alors $(x-x_1)$ est un facteur de $f$.
7. Écrire la forme factorisée complète $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ quand les deux racines sont connues.
8. Utiliser les relations somme/produit : $x_1+x_2=-b/a$ et $x_1x_2=c/a$ pour retrouver l’autre racine.
9. Vérifier un raisonnement par développement : retrouver $b$ et $c$ à partir de $x_1+x_2$ et $x_1x_2$.
10. Déduire le signe des racines quand $a$ et $c$ ont le même signe et que deux racines réelles existent via le produit $c/a>0$.