Lernzettel: Analyse des variations et extrema en fonction

📋 Plan du Cours

1. Sens de variation et extremums locaux
2. Traduction algébrique de la croissance et décroissance
3. Définition du maximum et du minimum sur un intervalle

📖 1. Sens de variation et extremums locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : Un maximum local est une valeur de la fonction atteinte en un point où la fonction ne dépasse pas ses valeurs dans un voisinage.
• Minimum local : Un minimum local est une valeur de la fonction atteinte en un point où la fonction ne descend pas en dessous de ses valeurs dans un voisinage.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le sens de variation d’une fonction sur un intervalle à partir de ses points repères.

📝 Points essentiels

• Sur l’intervalle [-3;2], la valeur 3 est un maximum local de f atteinte pour x = -1.
• Sur [-3;-1], f est croissante, puis sur [-1;2], f est décroissante.
• Sur l’intervalle [-4;-1], -1 est un minimum local de f atteint pour x = -3.
• Le tableau de variations se lit sur les abscisses pour repérer les intervalles et sur les ordonnées pour les valeurs de f.
• Dans l’exemple, on indique p(-3) = +1 et -1 est l’image de -3.

💡 Astuce mémo

Croissance = flèche vers le haut, décroissance = flèche vers le bas, extremum = changement de sens.

📖 2. Traduction algébrique de la croissance et décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle si elle conserve l’ordre des abscisses : plus on avance, plus la valeur ne diminue pas.
• Décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle si elle inverse l’ordre des abscisses : plus on avance, plus la valeur ne peut pas augmenter.
• Conserve l’ordre : Conserver l’ordre signifie que pour a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
• Inverse l’ordre : Inverser l’ordre signifie que pour a ≤ b, on a g(a) ≥ g(b).

📝 Points essentiels

• f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I avec a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
• f croissante se traduit par une implication : a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b).
• g est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I avec a ≤ b, on a g(a) ≥ g(b).
• g décroissante se traduit par une implication : a ≤ b ⇒ g(a) ≥ g(b).
• Dans la lecture, la croissance correspond à f(a) ne descendant pas quand a augmente, et la décroissance à g(a) ne montant pas quand a augmente.

💡 Astuce mémo

Croissante : ≤ devient ≤ ; Décroissante : ≤ devient ≥.

📖 3. Définition du maximum et du minimum sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum sur un intervalle : Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur prise par la fonction sur cet intervalle, atteinte en au moins un point.
• Minimum sur un intervalle : Le minimum sur un intervalle est la plus petite valeur prise par la fonction sur cet intervalle, atteinte en au moins un point.
• Image d’un point : L’image d’un point est la valeur de la fonction au point considéré.

📝 Points essentiels

• Le maximum de f sur [-5;5] est 4 et il est atteint pour x = 2.
• La traduction du maximum 4 sur [-5;5] s’écrit : pour tout x de [-5;5], |f(x)| ≤ 4.
• Le minimum de f sur [-5;5] est -1 et il est atteint pour x = 3.
• La traduction du minimum -1 sur [-5;5] s’écrit : pour tout x de [-5;5], f(x) ≥ -1.
• Dans l’exemple précédent, on utilise aussi la notion d’image : -1 est l’image de -3.

💡 Astuce mémo

Maximum : borne supérieure (et ici écrite avec |f(x)|), Minimum : borne inférieure (f(x) ≥ ...).

📊 Tableaux de synthèse

Croissance vs décroissance

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre maximum local et maximum sur un intervalle : le local ne concerne qu’un voisinage, pas tout l’intervalle.
2. Inverser les inégalités dans la traduction : pour une décroissance, c’est f(a) ≥ f(b) quand a ≤ b.
3. Lire un tableau de variations à l’envers : la flèche vers le haut correspond à une croissance, vers le bas à une décroissance.
4. Oublier que le maximum/minimum sur un intervalle doit être atteint : ce n’est pas seulement une borne.
5. Mélanger les traductions : le maximum donné via |f(x)| ≤ 4 n’est pas la même forme que f(x) ≥ -1 pour le minimum.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier un maximum local et un minimum local à partir du sens de variation (changement de flèche).
2. Savoir écrire la condition algébrique de la croissance : a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b).
3. Savoir écrire la condition algébrique de la décroissance : a ≤ b ⇒ f(a) ≥ f(b).
4. Savoir traduire un maximum sur un intervalle en une inégalité valable pour tout x de l’intervalle.
5. Savoir traduire un minimum sur un intervalle en une inégalité valable pour tout x de l’intervalle.
6. Savoir lire un tableau de variations : repérer les abscisses repères et interpréter les flèches sur les ordonnées.